Coefficients de suites trigonométriques convergentes

Résolution.

1. Fixons $n \in \mathbb{N}$. Si $a_n = b_n = 0$, n'importe quel réel $\varphi_n$ convient. Supposons $(a_n, b_n) \neq (0, 0)$. Posons $r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$. Le point de coordonnées $(\frac{a_n}{r_n}, -\frac{b_n}{r_n})$ appartient au cercle unité car :
   $$\left(\frac{a_n}{r_n}\right)^2 + \left(-\frac{b_n}{r_n}\right)^2 = \frac{a_n^2 + b_n^2}{a_n^2 + b_n^2} = 1$$
   Il existe donc un réel $\varphi_n$ tel que $\cos(\varphi_n) = \frac{a_n}{r_n}$ et $\sin(\varphi_n) = -\frac{b_n}{r_n}$. En utilisant la formule $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, on obtient :
   $$r_n \cos(nx + \varphi_n) = r_n \left( \cos(nx)\cos(\varphi_n) - \sin(nx)\sin(\varphi_n) \right)$$
   En remplaçant par les expressions de $\cos(\varphi_n)$ et $\sin(\varphi_n)$ :
   $$r_n \cos(nx + \varphi_n) = r_n \left( \cos(nx) \frac{a_n}{r_n} - \sin(nx) \left(-\frac{b_n}{r_n}\right) \right) = a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$$
   D'où le résultat :
   $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R},   a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos(nx + \varphi_n)}$$

2. Utilisons l'expression trouvée à la question précédente et la linéarisation $\cos^2(u) = \frac{1 + \cos(2u)}{2}$ :
   $$I_n = (a_n^2 + b_n^2) \int_c^d \cos^2(nx + \varphi_n)   dx = \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} \int_c^d \left( 1 + \cos(2nx + 2\varphi_n) \right)   dx$$
   Par intégration directe :
   $$I_n = \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} \left[ x + \frac{\sin(2nx + 2\varphi_n)}{2n} \right]_c^d$$
   Soit :
   $$I_n = \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} \left( (d-c) + \frac{\sin(2nd + 2\varphi_n) - \sin(2nc + 2\varphi_n)}{2n} \right)$$
   Posons $\varepsilon_n = \frac{\sin(2nd + 2\varphi_n) - \sin(2nc + 2\varphi_n)}{2n}$. Puisque le sinus est borné par $1$ :
   $$|\varepsilon_n| \leqslant \frac{2}{2n} = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   Ainsi, l'expression entre parenthèses tend vers $d-c > 0$. Pour $n$ assez grand, on aura $(d-c) + \varepsilon_n \geqslant \frac{d-c}{2}$. En multipliant par $\frac{a_n^2 + b_n^2}{2}$, on obtient pour $n$ assez grand :
   $$\boxed{I_n \geqslant \frac{(d-c)(a_n^2 + b_n^2)}{4}}$$

3. Soit $f_n : x \mapsto (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))^2$. Par hypothèse, la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[c, d]$. De plus, les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ étant bornées, il existe $M > 0$ tel que pour tout $n$, $|a_n| \leqslant M$ et $|b_n| \leqslant M$. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz (ou par l'amplitude $r_n$), on a :
   $$|f_n(x)| \leqslant a_n^2 + b_n^2 \leqslant 2M^2$$
   La suite $(f_n)$ est donc dominée par une fonction constante intégrable sur $[c, d]$. Par le théorème de convergence dominée, on en déduit :
   $$\lim_{n \to +\infty} I_n = \lim_{n \to +\infty} \int_c^d f_n(x)   dx = \int_c^d 0   dx = 0$$
   D'après la minoration de la question 2 :
   $$0 \leqslant \frac{d-c}{4} (a_n^2 + b_n^2) \leqslant I_n$$
   Par le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim_{n \to +\infty} (a_n^2 + b_n^2) = 0$. Ceci implique directement :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} a_n = 0   \text{et}   \lim_{n \to +\infty} b_n = 0}$$