Équivalent d'une somme gaussienne

Résolution.

1. Soit $t > 0$ fixé. Étudions la nature de la série $\sum_{n \ge 0} e^{-(nt)^2}$. Comme $t^2 > 0$, on a $n^2 t^2 \to +\infty$ quand $n \to +\infty$. Par croissance comparée, on sait que :
   $$n^2 e^{-(nt)^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   Il existe donc un rang $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0$ :
   $$0 \le e^{-(nt)^2} \le \frac{1}{n^2}$$
   Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par théorème de comparaison des séries à termes positifs :
   $$\boxed{\text{La série } \sum_{n \ge 0} e^{-(nt)^2} \text{ converge pour tout } t > 0.}$$

2. Soit $t > 0$. On considère la fonction $g : x \mapsto e^{-(xt)^2}$. La fonction $g$ est continue, positive et strictement décroissante sur $[0, +\infty[$. D'après le théorème de comparaison série-intégrale, on a l'encadrement suivant :
   $$\int_0^{+\infty} g(x)   dx \le \sum_{n=0}^{+\infty} g(n) \le g(0) + \int_0^{+\infty} g(x)   dx$$
   Calculons l'intégrale $I(t) = \int_0^{+\infty} e^{-(xt)^2}   dx$. On effectue le changement de variable $u = xt$, d'où $du = t   dx$ (puisque $t > 0$). \begin{align*} I(t) &= \int_0^{+\infty} e^{-u^2} \frac{du}{t}
   &= \frac{1}{t} \int_0^{+\infty} e^{-u^2}   du \end{align*} On utilise le résultat classique sur l'intégrale de Gauss : $\int_0^{+\infty} e^{-u^2}   du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. On en déduit :
   $$\boxed{ I(t) = \frac{\sqrt{\pi}}{2t} }$$
   En injectant ce résultat dans l'encadrement de $S(t)$, on obtient :
   $$\frac{\sqrt{\pi}}{2t} \le S(t) \le 1 + \frac{\sqrt{\pi}}{2t}$$
   Multiplions l'inégalité par $t$ (qui est strictement positif) :
   $$\frac{\sqrt{\pi}}{2} \le t S(t) \le t + \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
   Par le théorème des gendarmes, lorsque $t \to 0^+$, on a :
   $$\lim_{t \to 0^+} t S(t) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
   Ce qui se traduit par l'équivalent :
   $$\boxed{ S(t) \underset{t \to 0^+}{\sim} \frac{\sqrt{\pi}}{2t} }$$