Étude d'une série de fonctions logarithmiques

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$. Notons $u_n(x) = \ln(1 + e^{-nx})$. Si $x < 0$, alors $e^{-nx} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$, donc $u_n(x) \to +\infty$. La série diverge grossièrement. Si $x = 0$, alors $u_n(0) = \ln(2)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. La série $\sum \ln 2$ diverge grossièrement. Si $x > 0$, alors $e^{-nx} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Par développement limité, on a :
   $$u_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} e^{-nx}$$
   Comme $x > 0$, la série géométrique $\sum (e^{-x})^n$ converge car $|e^{-x}| < 1$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum u_n(x)$ converge.
   $$\boxed{D = ]0, +\infty[}$$

2. Continuité. Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, la fonction $t \mapsto e^{-nt}$ est décroissante, et la fonction $\ln(1+u)$ est croissante. Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \ge a$ :
   $$0 \le u_n(x) \le u_n(a)$$
   Comme la série numérique $\sum u_n(a)$ converge d'après la question précédente, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $[a, +\infty[$. Chaque fonction $u_n$ est continue sur $]0, +\infty[$. Par convergence normale sur tout intervalle $[a, +\infty[ \subset D$, la somme $f$ est continue sur tout intervalle $[a, +\infty[$, donc :
   $$\boxed{f \text{ est continue sur } ]0, +\infty[}$$

3. Limite en $+\infty$. Nous avons établi la convergence normale de la série sur $[1, +\infty[$. Nous pouvons donc appliquer le théorème d'interversion limite-somme en $+\infty$. Pour $n=0$, $u_0(x) = \ln(1 + e^0) = \ln 2$, donc $\lim_{x \to +\infty} u_0(x) = \ln 2$. Pour $n \ge 1$, $\lim_{x \to +\infty} e^{-nx} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \ln(1) = 0$. D'après le théorème d'interversion :
   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \ln 2 + \sum_{n=1}^{+\infty} 0$$
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ln 2}$$

4. Limite en $0^+$. Soit $N \in \mathbb{N}$. Comme tous les termes $u_n(x)$ sont strictement positifs pour $x > 0$, on a la minoration par la somme partielle :
   $$\forall x > 0,   f(x) \ge \sum_{n=0}^{N} u_n(x)$$
   En passant à la limite lorsque $x \to 0^+$ dans cette somme finie :
   $$\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^{N} \ln(1 + e^{-nx}) = \sum_{n=0}^{N} \ln(1+1) = (N+1)\ln 2$$
   On en déduit que $\liminf_{x \to 0^+} f(x) \ge (N+1)\ln 2$. Comme ceci est vrai pour tout entier $N$ arbitrairement grand, on conclut :
   $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty}$$