Comportement asymptotique d'une intégrale à paramètre

Soit $f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ une fonction continue, positive et décroissante sur son domaine de définition.

Pour tout $x > 0$ , on définit, sous réserve d'existence, la fonction $h$ par :

h(x) = \int_x^{+\infty} f(t)e^{-t}   dt

Justifier que pour tout $x > 0$ , l'intégrale définissant $h(x)$ est convergente.
Établir que l'on a la relation de comparaison suivante au voisinage de $+\infty$ : $h(x) = \mathcal{O}(f(x)e^{-x})$

1.

Pour l'existence, utiliser le fait qu'une fonction décroissante et positive est localement bornée et majorée par sa valeur en un point donné pour les grandes valeurs de $t$ .

2.

Pour la majoration, exploiter la décroissance de $f$ à l'intérieur de l'intégrale pour sortir le terme $f(x)$ de l'opérateur intégral.

Idées clés

•

Critère de comparaison pour les intégrales de fonctions positives.

•

Propriété de décroissance : si $t \geq x$ , alors $f(t) \leq f(x)$ .

•

Intégrale de référence de la fonction exponentielle.

1. Existence de l'intégrale.

Considérons $x > 0$ fixé. La fonction $t \mapsto f(t)e^{-t}$ est continue sur l'intervalle $[x, +\infty[$ .

Puisque $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ , pour tout $t \in [x, +\infty[$ , on a l'inégalité :

0 \leq f(t) \leq f(x)

En multipliant par $e^{-t}$ (qui est strictement positif), on obtient :

0 \leq f(t)e^{-t} \leq f(x)e^{-t}

Or, la fonction $t \mapsto e^{-t}$ est intégrable sur $[x, +\infty[$ car :

\int_x^A e^{-t}   dt = \left[ -e^{-t} \right]_x^A = e^{-x} - e^{-A} \xrightarrow[A \to +\infty]{} e^{-x}

Par comparaison de fonctions positives, l'intégrale $\int_x^{+\infty} f(t)e^{-t} dt$ converge.

\boxed{ \text{La fonction } h \text{ est bien définie sur } \mathbb{R}_+^* }

2. Étude du comportement asymptotique.

Nous cherchons à majorer $h(x)$ par un terme de la forme $M f(x)e^{-x}$ .

Utilisons de nouveau la décroissance de $f$ . Pour tout $t \geq x$ , nous avons $f(t) \leq f(x)$ .

Par croissance de l'intégrale, nous pouvons écrire :

h(x) = \int_x^{+\infty} f(t)e^{-t}   dt \leq \int_x^{+\infty} f(x)e^{-t}   dt

Comme $f(x)$ ne dépend pas de la variable d'intégration $t$ , nous pouvons le sortir de l'intégrale :

h(x) \leq f(x) \int_x^{+\infty} e^{-t}   dt

Le calcul de l'intégrale de l'exponentielle donne :

\int_x^{+\infty} e^{-t}   dt = e^{-x}

On en déduit l'inégalité suivante, valable pour tout $x > 0$ :

\boxed{ 0 \leq h(x) \leq f(x)e^{-x} }

Par définition de la notation grand $\mathcal{O}$ , cela prouve que :

\boxed{ h(x) = \mathcal{O}(f(x)e^{-x})   \text{quand } x \to +\infty }

Oublier de vérifier l'intégrabilité locale avant la convergence à l'infini.

Sortir une fonction monotone de l'intégrale en la majorant par sa valeur à une borne.