Formules de type BBP pour ln(2) et pi

Résolution.

1. Existence des objets. Pour tout $k \in \mathbb{N}$ et $n \geq 1$, on a l'encadrement :
   $$0 < \frac{1}{16^k(8k + n)} \leq \frac{1}{n} \left(\frac{1}{16}\right)^k$$
   Comme série géométrique de raison $1/16 \in ]-1, 1[$, la série converge.
   $$\boxed{ \text{Les séries } S_n \text{ sont bien définies.} }$$
   Concernant l'intégrale $I$, la fonction $f : x \mapsto \frac{1}{1-i-x}$ est continue sur $[0,1]$. En effet, le dénominateur $1-i-x$ s'annule si et seulement si $x=1$ et $i=0$, ce qui est impossible.
   $$\boxed{ \text{L'intégrale } I \text{ est bien définie.} }$$

2. Développement en série et lien avec $S_n$. Pour $x \in [0,1]$, on écrit :
   $$f(x) = \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{1-i}}$$
   On note que $\left| \frac{x}{1-i} \right| = \frac{x}{\sqrt{2}}$. Pour $x \in [0,1]$, ce quotient est majoré par $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$. On peut donc utiliser le développement en série géométrique :
   $$f(x) = \frac{1}{1-i} \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{x}{1-i} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{(1-i)^{n+1}}$$
   La série de fonctions converge normalement (et donc uniformément) sur $[0,1]$ car :
   $$\left\| \frac{x^n}{(1-i)^{n+1}} \right\|_{\infty, [0,1]} = \frac{1}{(\sqrt{2})^{n+1}}$$
   qui est le terme général d'une série géométrique convergente. On peut intégrer terme à terme :
   $$I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(1-i)^{n+1}} \int_0^1 x^n dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)(1-i)^{n+1}}$$
   Effectuons le changement d'indice $m = n+1$ :
   $$I = \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m (1-i)^m}$$
   On sépare la somme selon le reste de $m$ modulo 8. On pose $m = 8k + d$ avec $d \in \{1, \dots, 8\}$ et $k \in \mathbb{N}$. Remarquons que $1-i = \sqrt{2}e^{-i\pi/4}$, donc :
   $$(1-i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{-i 2\pi} = 2^4 = 16$$
   D'où $(1-i)^{8k+d} = 16^k (1-i)^d$. La somme devient :
   $$I = \sum_{d=1}^8 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(8k+d) 16^k (1-i)^d} = \sum_{d=1}^8 \frac{1}{(1-i)^d} S_d$$
   $$\boxed{ I = \sum_{d=1}^8 \frac{(1+i)^d}{2^d} S_d }$$

3. Calcul direct de $I$. On multiplie par la quantité conjuguée du dénominateur :
   $$\frac{1}{(1-x)-i} = \frac{(1-x)+i}{(1-x)^2 + 1}$$
   Ainsi :
   $$I = \int_0^1 \frac{1-x}{(1-x)^2 + 1} dx + i \int_0^1 \frac{1}{(1-x)^2 + 1} dx$$
   Pour la partie réelle :
   $$\int_0^1 \frac{1-x}{(1-x)^2 + 1} dx = \left[ -\frac{1}{2} \ln((1-x)^2 + 1) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \ln 2$$
   Pour la partie imaginaire :
   $$\int_0^1 \frac{1}{(1-x)^2 + 1} dx = [ -\arctan(1-x) ]_0^1 = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$
   $$\boxed{ I = \frac{\ln 2}{2} + i \frac{\pi}{4} }$$

4. Déduction des formules. D'après la question 2, on a $I = \sum_{d=1}^8 c_d S_d$ avec $c_d = \frac{(1+i)^d}{2^d}$. Calculons les premières valeurs de $c_d$ : $c_1 = \frac{1+i}{2}$, $c_2 = \frac{2i}{4} = \frac{i}{2}$, $c_3 = \frac{-2+2i}{8} = \frac{-1+i}{4}$, $c_4 = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$, $c_5 = \frac{-4-4i}{32} = \frac{-1-i}{8}$, $c_6 = \frac{-8i}{64} = -\frac{i}{8}$, $c_7 = \frac{8-8i}{128} = \frac{1-i}{16}$, $c_8 = \frac{16}{256} = \frac{1}{16}$. En identifiant les parties réelles et imaginaires de $I = \frac{\ln 2}{2} + i \frac{\pi}{4}$, on obtient :
   $$\text{Re}(I) = \frac{1}{2}S_1 + 0 S_2 - \frac{1}{4}S_3 - \frac{1}{4}S_4 - \frac{1}{8}S_5 + 0 S_6 + \frac{1}{16}S_7 + \frac{1}{16}S_8 = \frac{\ln 2}{2}$$
   $$\text{Im}(I) = \frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{2}S_2 + \frac{1}{4}S_3 + 0 S_4 - \frac{1}{8}S_5 - \frac{1}{8}S_6 - \frac{1}{16}S_7 + 0 S_8 = \frac{\pi}{4}$$
   (Note : Une légère correction sur les signes de la source originale pour $S_7$ dans la partie imaginaire apparaît ici par le calcul direct $c_7 = \frac{1-i}{16}$).