Régularité et convexité d'une série de fonctions

Résolution.

1. Définition et continuité. Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a l'inégalité triangulaire :
   $$|a_n |x - x_n|| \leq a_n |x| + a_n |x_n|$$
   Par hypothèse, les séries $\sum a_n$ et $\sum a_n |x_n|$ convergent (car $a_n \leq a_n(1+|x_n|)$ et $a_n |x_n| \leq a_n(1+|x_n|)$). Ainsi, la série $\sum a_n |x - x_n|$ converge absolument pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $f$ est bien définie. Soit $M > 0$. Pour tout $x \in [-M, M]$, on a :
   $$|a_n |x - x_n|| \leq a_n(M + |x_n|)$$
   Le terme de droite est le terme général d'une série numérique convergente indépendante de $x$. La série de fonctions converge donc normalement sur tout segment $[-M, M]$. Comme chaque fonction $x \mapsto a_n |x - x_n|$ est continue sur $\mathbb{R}$, on en déduit :
   $$\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$$

2. Convexité. Pour chaque $n \in \mathbb{N}$, la fonction $u_n : x \mapsto a_n |x - x_n|$ est une fonction convexe sur $\mathbb{R}$ (composition d'une fonction linéaire et de la valeur absolue, avec $a_n > 0$). La somme finie de fonctions convexes est convexe. Ainsi, pour tout $N \in \mathbb{N}$, $S_N = \sum_{n=0}^N u_n$ est convexe. La convexité est préservée par passage à la limite simple. Comme $f$ est la limite simple des fonctions $S_N$ sur $\mathbb{R}$ :
   $$\boxed{f \text{ est convexe sur } \mathbb{R}}$$

3. Dérivabilité.
   1. Cas où $a \notin \{x_n, n \in \mathbb{N}\}$.} Posons $v_n(x) = a_n |x - x_n|$. Puisque $a$ n'est égal à aucun des $x_n$, chaque $v_n$ est dérivable en $a$ avec :
      $$v_n'(a) = a_n \text{sgn}(a - x_n)$$
      où $\text{sgn}(u) = 1$ si $u > 0$ et $-1$ si $u < 0$. On remarque que $|v_n'(a)| = a_n$. La série $\sum a_n$ converge par hypothèse. La série des dérivées $\sum v_n'$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur tout intervalle ne contenant aucun $x_n$. Plus simplement, considérons le taux d'accroissement. La série $\sum \frac{v_n(x) - v_n(a)}{x - a}$ converge normalement sur $\mathbb{R} \setminus \{a\}$ car :
      $$\left| \frac{a_n |x - x_n| - a_n |a - x_n|}{x - a} \right| \leq a_n \frac{|(x - x_n) - (a - x_n)|}{|x - a|} = a_n$$
      Par le théorème de la limite sous le signe somme pour les séries de fonctions, $f$ est dérivable en $a$ et :
      $$\boxed{f'(a) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \text{sgn}(a - x_n)}$$

   2. Cas où $a = x_k$ pour un certain $k$. On peut décomposer $f$ sous la forme :
      $$f(x) = a_k |x - x_k| + \sum_{n \neq k} a_n |x - x_n|$$
      Posons $g(x) = \sum_{n \neq k} a_n |x - x_n|$. Comme les $(x_n)$ sont deux à deux distincts, pour tout $n \neq k$, $x_k \neq x_n$. D'après le raisonnement de la question précédente appliqué à la série définissant $g$, la fonction $g$ est dérivable en $x_k$. Si $f$ était dérivable en $x_k$, alors la fonction $x \mapsto f(x) - g(x) = a_k |x - x_k|$ le serait aussi. Or, la fonction $x \mapsto a_k |x - x_k|$ (avec $a_k > 0$) n'est pas dérivable en $x_k$ (elle admet des dérivées à gauche et à droite distinctes, $-a_k$ et $a_k$).
      $$\boxed{f \text{ n'est pas dérivable en } x_k}$$