Interversion limite-somme et Dirichlet

Théorème de convergence dominée pour les séries. Soit $(c_{n,k})_{(n,k) \in \mathbb{N}^2}$ $(c_{n, k})_{(n, k) \in N^{2}}$ une famille de complexes et $\sum a_k$ $\sum a_{k}$ une série à termes positifs convergente. On suppose que :
- $\forall (n,k) \in \mathbb{N}^2, |c_{n,k}| \leqslant a_k$ .
- Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $\lim_{n \to +\infty} c_{n,k} = c_k$ .
Démontrer que la série $\sum c_k$ $\sum c_{k}$ converge et que :
$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} c_{n,k} = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k$
Application à l'unicité des séries de Dirichlet. Soient $(a_n)_{n \geqslant 1}$ et $(b_n)_{n \geqslant 1}$ deux suites complexes telles que les séries $\sum \frac{a_n}{n^s}$ et $\sum \frac{b_n}{n^s}$ convergent absolument pour tout $s > \sigma$ (où $\sigma \in \mathbb{R}$ ). On suppose que pour tout $s > \sigma$ : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^s} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{b_n}{n^s}$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $a_n = b_n$ .

1.

Pour la question 1, utiliser un découpage en $\varepsilon/3$ : une partie de la somme jusqu'à un rang $N_0$ (où l'on utilise la convergence finie) et le reste de la série (majoré par le reste de $\sum a_k$ ).

2.

Pour la question 2, procéder par l'absurde. Si les suites diffèrent, considérer le plus petit indice $n_0$ tel que $a_{n_0} \neq b_{n_0}$ . Isoler ce terme et étudier la limite quand $s \to +\infty$ .

Idées clés

•

Interversion limite-somme par domination (analogue discret du théorème de Lebesgue).

•

Unicité des coefficients d'une série de Dirichlet par passage à la limite $s \to +\infty$ .

Résolution.

Démonstration de l'interversion. Par passage à la limite dans l'inégalité $|c_{n,k}| \leqslant a_k$ , on obtient $|c_k| \leqslant a_k$ . Comme $\sum a_k$ converge, $\sum c_k$ converge absolument. Soit $\varepsilon > 0$ . Puisque $\sum a_k$ converge, il existe $K \in \mathbb{N}$ tel que $\sum_{k=K+1}^{+\infty} a_k \leqslant \varepsilon$ . On a alors, pour tout $n$ : $\left| \sum_{k=0}^{+\infty} c_{n,k} - \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \right| \leqslant \sum_{k=0}^{K} |c_{n,k} - c_k| + \sum_{k=K+1}^{+\infty} |c_{n,k}| + \sum_{k=K+1}^{+\infty} |c_k|$ En utilisant la domination par $a_k$ : $\left| \sum_{k=0}^{+\infty} c_{n,k} - \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \right| \leqslant \sum_{k=0}^{K} |c_{n,k} - c_k| + 2 \sum_{k=K+1}^{+\infty} a_k$ Le second bloc est inférieur à $2\varepsilon$ . Pour le premier bloc (somme finie), comme chaque $c_{n,k} \to c_k$ , il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour $n \geqslant N$ , $\sum_{k=0}^{K} |c_{n,k} - c_k| \leqslant \varepsilon$ . Finalement, pour $n \geqslant N$ : $\left| \sum_{k=0}^{+\infty} c_{n,k} - \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \right| \leqslant 3\varepsilon$ $\boxed{\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} c_{n,k} = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k}$
Unicité des coefficients de Dirichlet. Posons $c_n = a_n - b_n$ . Par hypothèse, $\sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{n^s} = 0$ pour tout $s > \sigma$ . Supposons par l'absurde que la suite $(c_n)$ n'est pas identiquement nulle. Soit $n_0 = \min \{ n \in \mathbb{N}^* \mid c_n \neq 0 \}$ . On a alors pour tout $s > \sigma$ : $\frac{c_{n_0}}{n_0^s} + \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} \frac{c_n}{n^s} = 0$ En multipliant par $n_0^s$ , on obtient : $c_{n_0} + \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} c_n \left( \frac{n_0}{n} \right)^s = 0$ Fixons $s_0 > \sigma$ . Pour tout $s \geqslant s_0$ , on a : $\left| c_n \left( \frac{n_0}{n} \right)^s \right| \leqslant \frac{|c_n|}{n^{s_0}} n_0^{s_0} = a_n'$ Comme $\sum \frac{|c_n|}{n^{s_0}}$ converge, $\sum a_n'$ converge. On peut appliquer le résultat de la question 1 avec $s \to +\infty$ : $\lim_{s \to +\infty} \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} c_n \left( \frac{n_0}{n} \right)^s = \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} \lim_{s \to +\infty} c_n \left( \frac{n_0}{n} \right)^s = 0$ Car pour $n > n_0$ , $(n_0/n)^s \to 0$ . On en déduit que $c_{n_0} + 0 = 0$ , ce qui contredit $c_{n_0} \neq 0$ . $\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^*, a_n = b_n}$

Vérifier la domination uniforme sur des intervalles non bornés.

L'unicité des coefficients pour les séries de Dirichlet.