Domaine de définition et continuité de la fonction Zêta

Résolution.

1. Convergence simple sur $D$. Soit $z \in D$. On pose $z = x + iy$ avec $x > 1$ et $y \in \mathbb{R}$. Par définition de la puissance complexe :
   $$f_n(z) = e^{-(x+iy) \ln(n)}$$
   En passant au module, on obtient :
   $$|f_n(z)| = |e^{-x \ln(n)}| \cdot |e^{-iy \ln(n)}| = e^{-x \ln(n)} = \frac{1}{n^x}$$
   Puisque $x = \text{Re}(z) > 1$, la série numérique réelle $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^x}$ est une série de Riemann convergente. Ainsi, la série $\sum f_n(z)$ est absolument convergente, donc convergente dans $\mathbb{C}$.
   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement sur } D.}$$

2. Continuité de la somme sur $D$. Pour montrer que la fonction $\zeta$ est continue sur $D$, il suffit de montrer qu'elle est continue sur tout sous-ensemble de la forme $D_a = \{z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) \ge a\}$ pour n'importe quel $a > 1$. En effet, tout point $z_0 \in D$ possède un voisinage contenu dans un tel $D_a$ (il suffit de choisir $1 < a < \text{Re}(z_0)$). Soit $a > 1$. Pour tout $z \in D_a$, on a $\text{Re}(z) \ge a$, d'où :
   $$|f_n(z)| = \frac{1}{n^{\text{Re}(z)}} \le \frac{1}{n^a}$$
   On définit alors la norme infinie sur $D_a$ : $\|f_n\|_{\infty, D_a} = \sup_{z \in D_a} |f_n(z)|$. On a :
   $$\boxed{\|f_n\|_{\infty, D_a} \le \frac{1}{n^a}}$$
   Comme $a > 1$, la série numérique $\sum \frac{1}{n^a}$ converge. Par comparaison, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $D_a$. Or, chaque fonction $f_n : z \mapsto e^{-z \ln(n)}$ est continue sur $D$ (composition de l'exponentielle et d'une fonction linéaire). Par théorème de continuité des séries de fonctions (la convergence normale sur $D_a$ impliquant la convergence uniforme sur $D_a$) :
   $$\boxed{\zeta \text{ est continue sur chaque } D_a, \text{ donc } \zeta \text{ est continue sur } D.}$$