Lien entre intégrales rationnelles et séries alternées

Résolution.

1. Existence. Pour $I(p, q)$ : La fonction $f(x) = \frac{x^{p-1}}{1+x^q}$ est continue sur $]0, 1]$. En $0$, $f(x) \sim x^{p-1}$. L'intégrale converge si et seulement si $p-1 > -1$, soit $p > 0$. Pour $S(p, q)$ : C'est une série alternée $\sum (-1)^n u_n$ avec $u_n = \frac{1}{nq+p}$. Comme $q > 0$, la suite $(u_n)$ est positive, décroissante et tend vers $0$. D'après le CSSA, la série converge.

2. Preuve de l'égalité $I=S$. Pour $x \in [0, 1[$, on a $\frac{1}{1+x^q} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{nq}$. Ainsi, $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{nq+p-1}$. Soit $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} (-1)^n x^{nq+p-1}$. D'après le CSSA appliqué à la série des fonctions, pour tout $x \in [0, 1[$, on a la majoration du reste :
   $$|R_N(x)| \leq |(-1)^{N+1} x^{(N+1)q+p-1}| = x^{(N+1)q+p-1}$$
   Or, l'intégrale de ce majorant sur $[0, 1]$ est $\int_0^1 x^{(N+1)q+p-1}   \mathrm{d}x = \frac{1}{(N+1)q+p}$, qui tend vers $0$ quand $N \to +\infty$. Par théorème d'intégration d'une suite de fonctions (ici la suite des sommes partielles), l'interversion est justifiée.
   $$I(p, q) = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 (-1)^n x^{nq+p-1}   \mathrm{d}x = \sum_{n=0^{+\infty}} \frac{(-1)^n}{nq+p} = \boxed{ S(p, q) }$$

3. Calculs particuliers. Pour $I(1, 2)$ :
   $$I(1, 2) = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}   \mathrm{d}x = [\arctan x]_0^1 = \boxed{ \frac{\pi}{4} }$$
   Pour $I(2, 2)$ :
   $$I(2, 2) = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}   \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right]_0^1 = \boxed{ \frac{\ln 2}{2} }$$

4. Cas $p=q=1/n$.
   $$I(1/n, 1/n) = \int_0^1 \frac{x^{1/n-1}}{1+x^{1/n}}   \mathrm{d}x$$
   Posons le changement de variable $u = x^{1/n}$. Alors $x = u^n$ et $\mathrm{d}x = n u^{n-1} \mathrm{d}u$.
   $$I(1/n, 1/n) = \int_0^1 \frac{(u^n)^{1/n-1}}{1+u} n u^{n-1} \mathrm{d}u = \int_0^1 \frac{u^{1-n} \cdot n u^{n-1}}{1+u} \mathrm{d}u$$
   $$I(1/n, 1/n) = n \int_0^1 \frac{1}{1+u} \mathrm{d}u = n [\ln(1+u)]_0^1 = \boxed{ n \ln 2 }$$