Comportement asymptotique de sommes de sinus hyperboliques

Pour tout réel $x > 0$ , on définit les deux sommes suivantes :

S_1(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{sh}(nx)}   \text{et}   S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{sh}^2(nx)}

Déterminer un équivalent de $S_1(x)$ et de $S_2(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.

1.

Pour $S_1$ , utiliser une comparaison entre la somme et une intégrale. On pourra utiliser une primitive de la fonction $t \mapsto 1/\operatorname{sh} t$ , par exemple $t \mapsto \ln(\operatorname{th}(t/2))$ .

2.

Pour $S_2$ , étudier la limite de la quantité $x^2 S_2(x)$ en utilisant le théorème de convergence dominée pour les séries (ou la convergence normale sur tout intervalle $[0, a]$ après prolongement).

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale pour les fonctions décroissantes.

•

Théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions.

•

Développements asymptotiques des fonctions usuelles et de leurs intégrales.

1. Recherche d'un équivalent pour $S_1$ .

Soit $x > 0$ fixé. La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh}(xt)}$ est continue, positive et décroissante sur $[1, +\infty[$ . Par comparaison classique entre une somme et une intégrale, on a :

\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\operatorname{sh}(xt)} \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{sh}(nx)} \leqslant \frac{1}{\operatorname{sh}(x)} + \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\operatorname{sh}(xt)}

Effectuons le changement de variable $u = xt$ dans l'intégrale :

\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\operatorname{sh}(xt)} = \frac{1}{x} \int_{x}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{\operatorname{sh} u}

Une primitive de $u \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh} u}$ sur $]0, +\infty[$ est donnée par $u \mapsto \ln\left(\operatorname{th}\left(\frac{u}{2}\right)\right)$ . Ainsi :

\int_{x}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{\operatorname{sh} u} = \left[ \ln\left(\operatorname{th}\left(\frac{u}{2}\right)\right) \right]_{x}^{+\infty} = 0 - \ln\left(\operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)\right)

Or, au voisinage de 0, on a $\operatorname{th}(x/2) \sim x/2$ . Par composition avec le logarithme :

-\ln\left(\operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right)\right) = -\ln\left(\frac{x}{2} + o(x)\right) = -\ln(x) + \ln 2 + o(1)

On en déduit que l'intégrale se comporte comme :

\frac{1}{x} \int_{x}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{\operatorname{sh} u} \sim -\frac{\ln x}{x}

Comme $\frac{1}{\operatorname{sh} x} \sim \frac{1}{x}$ , ce terme est négligeable devant $\frac{\ln x}{x}$ . L'encadrement précédent permet de conclure :

\boxed{ S_1(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\frac{\ln x}{x} }

2. Recherche d'un équivalent pour $S_2$ .

Pour $S_2$ , la méthode de comparaison intégrale donnerait un équivalent en $1/x^2$ , mais la gestion des restes est plus délicate. Utilisons une approche par convergence de série. Posons $u_n(x) = \frac{x^2}{\operatorname{sh}^2(nx)}$ pour $n \geqslant 1$ et $x > 0$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ fixé, on a :

u_n(x) = \frac{x^2}{(nx + o(x))^2} = \frac{x^2}{n^2 x^2 + o(x^2)} \xrightarrow[x \to 0^+]{} \frac{1}{n^2}

Cherchons une domination pour appliquer le théorème de convergence dominée. On sait que pour tout $u \geqslant 0$ , $\operatorname{sh} u \geqslant u$ . En élevant au carré et en passant à l'inverse, on obtient pour tout $n \geqslant 1$ et $x > 0$ :

\frac{1}{\operatorname{sh}^2(nx)} \leqslant \frac{1}{(nx)^2} = \frac{1}{n^2 x^2}

D'où la majoration :

\forall x > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*,   |u_n(x)| \leqslant \frac{1}{n^2}

La série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente (série de Riemann). D'après le théorème de convergence dominée pour les séries :

\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \lim_{x \to 0^+} u_n(x) \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}

On reconnaît la valeur $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ . On a donc :

x^2 S_2(x) \xrightarrow[x \to 0^+]{} \zeta(2)

Finalement, l'équivalent cherché est :

\boxed{ S_2(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{\pi^2}{6x^2} }

Vouloir utiliser la comparaison intégrale pour S2 sans vérifier la prépondérance du premier terme.

Utiliser la domination pour les séries dont les termes généraux décroissent en 1/n^2 pour trouver des équivalents en 1/x^2.