Étude asymptotique du maximum d'une suite de fonctions

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0, 1]$ par :

f_n(t) = n t^n \sin(\pi t)

Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par :

u_n = \sup_{t \in [0, 1]} |f_n(t)|

1.

Commencer par justifier l'existence du maximum pour chaque $n$ et étudier les variations de $f_n$ sur $[0, 1]$ .

2.

Montrer que le point $\alpha_n$ où le maximum est atteint vérifie une équation transcendante du type $\tan(\pi \alpha_n) = \varphi(\alpha_n, n)$ .

3.

Étudier le comportement asymptotique de $\alpha_n$ lorsque $n \to +\infty$ en posant $\alpha_n = 1 - \varepsilon_n$ .

4.

Injecter ce développement dans l'expression de $f_n(\alpha_n)$ pour conclure.

Idées clés

•

Étude des points critiques par dérivation.

•

Utilisation de l'équation implicite caractérisant le maximum.

•

Développement asymptotique d'une suite définie implicitement.

•

Limite classique de la forme $(1 - 1/n)^n$ .

1. Existence et localisation du maximum.

La fonction $f_n$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Comme $f_n(0) = f_n(1) = 0$ et que $f_n(t) > 0$ sur $]0, 1[$ , le supremum $u_n$ est un maximum atteint en au moins un point $\alpha_n \in ]0, 1[$ .

La fonction $f_n$ est dérivable sur $]0, 1[$ , sa dérivée est donnée par :

f_n'(t) = n \left[ n t^{n-1} \sin(\pi t) + \pi t^n \cos(\pi t) \right] = n t^{n-1} \left[ n \sin(\pi t) + \pi t \cos(\pi t) \right]

Un point critique $\alpha_n$ vérifie $f_n'(\alpha_n) = 0$ . Comme $\alpha_n \neq 0$ et $\sin(\pi \alpha_n) \neq 0$ (car $\cos(\pi \alpha_n) = 0$ impliquerait $\sin(\pi \alpha_n) = 0$ , ce qui est impossible), on obtient :

n \sin(\pi \alpha_n) + \pi \alpha_n \cos(\pi \alpha_n) = 0 \iff \tan(\pi \alpha_n) = - \frac{\pi \alpha_n}{n}

Sur $]0, 1[$ , $\frac{\pi \alpha_n}{n} > 0$ , donc $\tan(\pi \alpha_n) < 0$ . Cela impose $\pi \alpha_n \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$ , soit :

\boxed{ \alpha_n \in \left] \frac{1}{2}, 1 \right[ }

2. Analyse asymptotique de $\alpha_n$ .

Lorsque $n \to +\infty$ , l'équation $\tan(\pi \alpha_n) = - \frac{\pi \alpha_n}{n}$ montre que $\tan(\pi \alpha_n) \to 0$ . Comme $\pi \alpha_n \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$ , on en déduit que $\pi \alpha_n \to \pi$ , d'où $\alpha_n \to 1$ .

Posons $\alpha_n = 1 - \varepsilon_n$ avec $\varepsilon_n \to 0^+$ . L'équation devient :

\tan(\pi - \pi \varepsilon_n) = - \frac{\pi(1 - \varepsilon_n)}{n} \iff -\tan(\pi \varepsilon_n) = - \frac{\pi(1 - \varepsilon_n)}{n}

Ainsi, $\tan(\pi \varepsilon_n) = \frac{\pi}{n} - \frac{\pi \varepsilon_n}{n}$ . Comme $\pi \varepsilon_n \to 0$ , on a $\tan(\pi \varepsilon_n) \sim \pi \varepsilon_n$ . Par équivalence, il vient $\pi \varepsilon_n \sim \frac{\pi}{n}$ , soit :

\boxed{ \varepsilon_n = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) }

3. Calcul de la limite de $u_n$ .

On a $u_n = f_n(\alpha_n) = n \alpha_n^n \sin(\pi \alpha_n)$ . En utilisant $\alpha_n = 1 - \varepsilon_n$ , on a $\sin(\pi \alpha_n) = \sin(\pi - \pi \varepsilon_n) = \sin(\pi \varepsilon_n)$ .

D'une part :

n \sin(\pi \varepsilon_n) \sim n (\pi \varepsilon_n) \sim n \left( \frac{\pi}{n} \right) = \pi

D'autre part, pour le terme de puissance :

\alpha_n^n = (1 - \varepsilon_n)^n = \exp(n \ln(1 - \varepsilon_n))

En utilisant le développement limité de $\ln(1-x)$ et le fait que $\varepsilon_n = \frac{1}{n} + o(\frac{1}{n})$ :

n \ln(1 - \varepsilon_n) = n \left( - \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = -1 + o(1)

Par continuité de l'exponentielle :

\lim_{n \to +\infty} \alpha_n^n = e^{-1}

En regroupant les deux résultats, on conclut :

\lim_{n \to +\infty} u_n = \pi \cdot e^{-1}

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \sup_{t \in [0, 1]} f_n(t) = \frac{\pi}{e} }

Ne pas confondre limite simple et limite de la norme uniforme.

Méthode d'étude d'un maximum atteint en un point défini implicitement.