Rayon spectral et série de Neumann

Résolution.

1. Convergence de la suite $(u_n)$. Par définition de la norme subordonnée, pour tout $(p, q) \in (\mathbb{N}^*)^2$, on a :
   $$\|T^{p+q}\| = \|T^p \circ T^q\| \leq \|T^p\| \cdot \|T^q\|$$
   En posant $a_n = \ln(\|T^n\|)$ (si $\|T^n\|=0$ pour un certain $n$, alors $u_n \to 0$ et le résultat est immédiat), la relation devient :
   $$a_{p+q} \leq a_p + a_q$$
   La suite $(a_n)$ est donc sous-additive. D'après le lemme de Fekete, la suite $(\frac{a_n}{n})$ converge vers $\inf_{n \geq 1} \frac{a_n}{n}$. Puisque $u_n = e^{a_n/n}$ et que la fonction exponentielle est continue, on en déduit que :
   $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \exp\left( \inf_{n \geq 1} \frac{\ln \|T^n\|}{n} \right) = \inf_{n \geq 1} \|T^n\|^{1/n}$$
   Démontrons ce résultat plus précisément sans invoquer le nom du lemme. Soit $q \in \mathbb{N}^*$ fixé. Pour tout $n > q$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $q$ :
   $$n = mq + r,   \text{avec } 0 \leq r < q$$
   Par sous-multiplicativité :
   $$\|T^n\| = \|(T^q)^m \circ T^r\| \leq \|T^q\|^m \cdot \|T^r\|$$
   En prenant la puissance $1/n$ :
   $$u_n \leq \|T^q\|^{m/n} \cdot \|T^r\|^{1/n} = (\|T^q\|^{1/q})^{mq/n} \cdot \|T^r\|^{1/n}$$
   Lorsque $n \to +\infty$, on a $\frac{mq}{n} \to 1$ et $\frac{1}{n} \to 0$. On en déduit :
   $$\limsup_{n \to +\infty} u_n \leq u_q$$
   Comme ceci est vrai pour tout $q \geq 1$, on a $\limsup u_n \leq \inf u_q \leq \liminf u_n$, ce qui prouve la convergence :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \|T^n\|^{1/n} = \inf_{n \geq 1} \|T^n\|^{1/n}}$$

2. Inversibilité de $I-T$ si $l < 1$. Si $l < 1$, choisissons $\varepsilon > 0$ tel que $l + \varepsilon = k < 1$. D'après la question précédente, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, $u_n \leq k$, d'où :
   $$\|T^n\| \leq k^n$$
   La série numérique $\sum \|T^n\|$ est donc convergente par comparaison à une série géométrique convergente. Comme $\mathcal{L}(E)$ est un espace de dimension finie, il est complet. La série $\sum T^n$ est absolument convergente, donc elle converge. Notons $S = \sum_{n=0}^{+\infty} T^n$. Calculons le produit $(I-T) S_N$ où $S_N = \sum_{n=0}^{N} T^n$ :
   $$(I-T) \sum_{n=0}^{N} T^n = \sum_{n=0}^{N} T^n - \sum_{n=1}^{N+1} T^n = I - T^{N+1}$$
   Or $\|T^{N+1}\| \leq k^{N+1} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$. Par continuité du produit matriciel (ou de la composition), on passe à la limite :
   $$(I-T) S = I$$
   De même, $S(I-T) = I$. On en conclut que $I-T$ est inversible et :
   $$\boxed{(I-T)^{-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} T^n}$$

3. Généralisation au cas Banach. Le résultat est encore valable dans un espace de Banach $E$. En effet, si $E$ est un espace de Banach, alors l'espace des endomorphismes continus $\mathcal{L}(E)$ est lui aussi un espace de Banach pour la norme subordonnée. La preuve de la convergence de la série $\sum T^n$ repose uniquement sur deux arguments :
   1. La convergence de la série des normes $\sum \|T^n\|$.
   2. Le fait que dans un espace de Banach, toute série absolument convergente est convergente.
   Comme $l < 1$, la convergence absolue est assurée par le même argument de comparaison géométrique. La complétude de $\mathcal{L}(E)$ permet alors de définir $S$. Le passage à la limite dans $I - T^{N+1}$ reste licite car $\|T^{N+1}\| \to 0$. Conclusion :
   $$\boxed{\text{Le résultat subsiste intégralement dans un cadre Banach.}}$$