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Représentation intégrale d'une série alternée

série alternéeintégrale à paramètredéveloppement en sériereste intégralCSSASérie géométriqueIntégrale de Laplace

Pour tout réel xx et tout entier naturel nn, on définit le terme général :

un(x)=(−1)n2n+1(2n+1)2+x2u_{n}(x)=(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n+1)^{2}+x^{2}}

  1. Justifier que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, la série ∑un(x)\sum u_{n}(x) est convergente.
  2. Établir l'intégrabilité de la fonction fx:t↦cos⁡(xt)cosh⁡(t)f_x : t \mapsto \frac{\cos(xt)}{\cosh(t)} sur l'intervalle [0,+∞[[0, +\infty[.
  3. Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer l'égalité suivante :
    12∫0+∞cos⁡(xt)cosh⁡(t)dt=∑k=0n(−1)k∫0+∞e−(2k+1)tcos⁡(xt)dt+Rn(x)\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{\cosh(t)} \mathrm{d}t = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \int_{0}^{+\infty} e^{-(2k+1)t} \cos(xt) \mathrm{d}t + R_{n}(x)
    où l'on explicitera le reste Rn(x)R_n(x) sous forme d'une intégrale.
  4. En déduire une expression de la somme ∑n=0+∞un(x)\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}(x) sous forme d'intégrale.

1.

Pour la question 1, utiliser le critère spécial des séries alternées en vérifiant la décroissance du module à partir d'un certain rang.

2.

Pour la question 2, on pourra majorer ∣cos⁡(xt)∣|\cos(xt)| par 1 et utiliser un équivalent de cosh⁡(t)\cosh(t) au voisinage de +∞+\infty.

3.

Pour la question 3, utiliser le développement d'une somme géométrique finie appliqué à e−2te^{-2t}.

4.

Pour la question 4, calculer l'intégrale ∫0+∞e−(2k+1)tcos⁡(xt)dt\int_{0}^{+\infty} e^{-(2k+1)t} \cos(xt) \mathrm{d}t par passage à l'exponentielle complexe et montrer que Rn(x)→0R_n(x) \to 0.

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA).

•

Développement en série géométrique pour transformer une fraction en somme.

•

Convergence dominée ou majoration directe du reste pour le passage à la limite.

•

Calcul d'une intégrale de Laplace via les complexes.

Résolution.

  1. Fixons x∈Rx \in \mathbb{R}. La suite (un(x))(u_n(x)) est alternée. Posons an(x)=∣un(x)∣=2n+1(2n+1)2+x2a_n(x) = |u_n(x)| = \frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2}. Il est clair que lim⁡n→+∞an(x)=0\lim_{n \to +\infty} a_n(x) = 0. Étudions la fonction g:τ↦ττ2+x2g : \tau \mapsto \frac{\tau}{\tau^2 + x^2} sur [1,+∞[[1, +\infty[. Sa dérivée est g′(τ)=x2−τ2(τ2+x2)2g'(\tau) = \frac{x^2 - \tau^2}{(\tau^2 + x^2)^2}. On remarque que g′(τ)≤0g'(\tau) \leq 0 dès que τ≥∣x∣\tau \geq |x|. Ainsi, la suite (an(x))(a_n(x)) est décroissante dès que 2n+1≥∣x∣2n+1 \geq |x|. D'après le critère spécial des séries alternées, la série converge.
    ∑n=0+∞un(x) converge pour tout x∈R\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x) \text{ converge pour tout } x \in \mathbb{R}}

  2. La fonction fxf_x est continue sur [0,+∞[[0, +\infty[. Pour tout t≥0t \geq 0, on a :
    ∣fx(t)∣=∣cos⁡(xt)cosh⁡(t)∣≤1cosh⁡(t)|f_x(t)| = \left| \frac{\cos(xt)}{\cosh(t)} \right| \leq \frac{1}{\cosh(t)}
    Or cosh⁡(t)=et+e−t2∼+∞et2\cosh(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \sim_{+\infty} \frac{e^t}{2}, donc 1cosh⁡(t)∼+∞2e−t\frac{1}{\cosh(t)} \sim_{+\infty} 2e^{-t}. Comme t↦e−tt \mapsto e^{-t} est intégrable sur [0,+∞[[0, +\infty[, par comparaison de fonctions positives :
    t↦cos⁡(xt)cosh⁡(t) est inteˊgrable sur [0,+∞[\boxed{t \mapsto \frac{\cos(xt)}{\cosh(t)} \text{ est intégrable sur } [0, +\infty[}

  3. Rappelons que 1cosh⁡(t)=2et+e−t=2e−t1+e−2t\frac{1}{\cosh(t)} = \frac{2}{e^t + e^{-t}} = \frac{2e^{-t}}{1 + e^{-2t}}. En utilisant l'identité des sommes géométriques 11+u=∑k=0n(−u)k+(−u)n+11+u\frac{1}{1+u} = \sum_{k=0}^n (-u)^k + \frac{(-u)^{n+1}}{1+u} avec u=e−2t∈]0,1[u = e^{-2t} \in ]0, 1[, on obtient :
    12cos⁡(xt)cosh⁡(t)=e−tcos⁡(xt)1+e−2t=∑k=0n(−1)ke−(2k+1)tcos⁡(xt)+(−1)n+1e−(2n+3)tcos⁡(xt)1+e−2t\frac{1}{2} \frac{\cos(xt)}{\cosh(t)} = \frac{e^{-t}\cos(xt)}{1+e^{-2t}} = \sum_{k=0}^n (-1)^k e^{-(2k+1)t}\cos(xt) + (-1)^{n+1} \frac{e^{-(2n+3)t}\cos(xt)}{1+e^{-2t}}
    Par linéarité de l'intégrale (toutes les fonctions étant intégrables) :
    12∫0+∞cos⁡(xt)cosh⁡(t)dt=∑k=0n(−1)k∫0+∞e−(2k+1)tcos⁡(xt)dt+Rn(x)\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{\cosh(t)} \mathrm{d}t = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \int_{0}^{+\infty} e^{-(2k+1)t} \cos(xt) \mathrm{d}t + R_{n}(x)
    avec :
    Rn(x)=(−1)n+1∫0+∞e−(2n+3)tcos⁡(xt)1+e−2tdt\boxed{R_n(x) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-(2n+3)t}\cos(xt)}{1+e^{-2t}} \mathrm{d}t}

  4. Calculons d'abord l'intégrale élémentaire pour a>0a > 0 :
    I(a)=∫0+∞e−atcos⁡(xt)dt=Re(∫0+∞e−(a−ix)tdt)I(a) = \int_0^{+\infty} e^{-at} \cos(xt) \mathrm{d}t = \text{Re} \left( \int_0^{+\infty} e^{-(a-ix)t} \mathrm{d}t \right)
    I(a)=Re([e−(a−ix)t−(a−ix)]0+∞)=Re(1a−ix)=Re(a+ixa2+x2)=aa2+x2I(a) = \text{Re} \left( \left[ \frac{e^{-(a-ix)t}}{-(a-ix)} \right]_0^{+\infty} \right) = \text{Re} \left( \frac{1}{a-ix} \right) = \text{Re} \left( \frac{a+ix}{a^2+x^2} \right) = \frac{a}{a^2+x^2}
    En posant a=2k+1a = 2k+1, on trouve (−1)kI(2k+1)=(−1)k2k+1(2k+1)2+x2=uk(x)(-1)^k I(2k+1) = (-1)^k \frac{2k+1}{(2k+1)^2+x^2} = u_k(x). Majorons maintenant le reste ∣Rn(x)∣|R_n(x)| :
    ∣Rn(x)∣≤∫0+∞e−(2n+3)t∣cos⁡(xt)∣1+e−2tdt≤∫0+∞e−(2n+3)tdt|R_n(x)| \leq \int_0^{+\infty} \frac{e^{-(2n+3)t} |\cos(xt)|}{1+e^{-2t}} \mathrm{d}t \leq \int_0^{+\infty} e^{-(2n+3)t} \mathrm{d}t
    (car 1+e−2t≥11+e^{-2t} \geq 1 et ∣cos⁡∣≤1|\cos| \leq 1). On calcule ∣Rn(x)∣≤[e−(2n+3)t−(2n+3)]0+∞=12n+3|R_n(x)| \leq \left[ \frac{e^{-(2n+3)t}}{-(2n+3)} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{2n+3}. On en déduit que lim⁡n→+∞Rn(x)=0\lim_{n \to +\infty} R_n(x) = 0. En passant à la limite dans l'égalité de la question 3 :
    ∑n=0+∞un(x)=12∫0+∞cos⁡(xt)cosh⁡(t)dt\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}(x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{\cosh(t)} \mathrm{d}t}

Décroissance du terme général dépendant du paramètre xx.

Transformation d'intégrale en série par développement du dénominateur.