Surjectivité de la courbe de Peano

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction continue, paire et $2$ -périodique définie sur $[0, 1]$ par :

f(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t \in [0, 1/3] 3t - 1 & \text{si } t \in [1/3, 2/3] 1 & \text{si } t \in [2/3, 1] \end{cases}

On définit pour tout $t \in \mathbb{R}$ les deux séries de fonctions suivantes : $u(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(3^{2n} t)}{2^{n+1}} \text{et} v(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(3^{2n+1} t)}{2^{n+1}}$ Montrer que $u$ et $v$ définissent deux fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $[0, 1]$ .
On considère l'application $F : [0, 1] \to [0, 1]^2$ définie par $F(t) = (u(t), v(t))$ . Démontrer que $F([0, 1]) = [0, 1]^2$ .

1.

Pour la question 1, utiliser la convergence normale des séries de fonctions pour justifier la continuité.

2.

Pour la question 2, étant donné $(x, y) \in [0, 1]^2$ , utiliser leurs développements dyadiques $x = \sum \frac{x_n}{2^{n+1}}$ et $y = \sum \frac{y_n}{2^{n+1}}$ (avec $x_n, y_n \in \{0, 1\}$ ).

3.

Chercher un antécédent $t$ sous la forme d'un développement triadiques $t = \sum \frac{t_k}{3^{k+1}}$ en choisissant judicieusement les chiffres $t_k \in \{0, 2\}$ .

Idées clés

•

Convergence normale pour la continuité d'une série de fonctions.

•

Utilisation de l'écriture en base $2$ (dyadique) et base $3$ (triadique).

•

Propriétés de $f$ liées à la structure de l'ensemble de Cantor.

Résolution.

Étude de la continuité et de l'image.
Soit $n \in \mathbb{N}$ . Posons $u_n(t) = \frac{f(3^{2n}t)}{2^{n+1}}$ . Puisque $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ , chaque $u_n$ est continue. De plus, comme $f$ est à valeurs dans $[0, 1]$ , on a pour tout $t \in \mathbb{R}$ :
$|u_n(t)| \le \frac{1}{2^{n+1}}$ La série numérique $\sum \frac{1}{2^{n+1}}$ est une série géométrique convergente de somme $1$ . La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}$ .
Par théorème de continuité des séries de fonctions, $u$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Le raisonnement est identique pour $v$ . De plus, pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $0 \le u(t) \le \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} = 1$ . Ainsi, $u$ et $v$ sont bien à valeurs dans $[0, 1]$ .
$\boxed{u, v \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, [0, 1])}$
Surjectivité de l'application $F$ .
Soit $(x, y) \in [0, 1]^2$ . On peut écrire $x$ et $y$ sous forme de développements dyadiques :
$x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{2n}}{2^{n+1}} \text{et} y = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{2n+1}}{2^{n+1}}$
où les chiffres $a_k$ $a_{k}$ appartiennent à $\{0, 1\}$ ${0, 1}$ . Posons alors $t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$ par son développement en base $3$ $3$ :
$t = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2a_k}{3^{k+1}}$
Notez que les chiffres de $t$ $t$ en base $3$ $3$ sont dans $\{0, 2\}$ ${0, 2}$ . Calculons $f(3^m t)$ $f (3^{m} t)$ pour un entier $m \ge 0$ $m \geq 0$ . On a :
$3^m t = \sum_{k=0}^{m-1} a_k 3^{m-k-1} \cdot 2 + \frac{2a_m}{3} + \sum_{k=m+1}^{+\infty} \frac{2a_k}{3^{k-m+1}}$
Soit $K_m = \sum_{k=0}^{m-1} a_k 3^{m-k-1} \cdot 2$ $K_{m} = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} 3^{m - k - 1} \cdot 2$ . C'est un entier pair. Par $2$ $2$ -périodicité et parité de $f$ $f$ , on a $f(3^m t) = f(3^m t - K_m)$ $f (3^{m} t) = f (3^{m} t - K_{m})$ . Posons $r_m = \sum_{k=m+1}^{+\infty} \frac{2a_k}{3^{k-m+1}} = \sum_{j=2}^{+\infty} \frac{2a_{m+j-1}}{3^j}$ $r_{m} = \sum_{k = m + 1}^{+ \infty} \frac{2 a _{k}}{3 ^{k - m + 1}} = \sum_{j = 2}^{+ \infty} \frac{2 a _{m + j - 1}}{3 ^{j}}$ . On a l'encadrement :
$0 \le r_m \le \sum_{j=2}^{+\infty} \frac{2}{3^j} = \frac{2/9}{1 - 1/3} = \frac{1}{3}$
On examine alors $f(3^m t) = f\left(\frac{2a_m}{3} + r_m\right)$ $f (3^{m} t) = f (\frac{2 a _{m}}{3} + r_{m})$ selon la valeur de $a_m \in \{0, 1\}$ $a_{m} \in {0, 1}$ :
- Si $a_m = 0$ , alors $3^m t - K_m = r_m \in [0, 1/3]$ . Par définition de $f$ , $f(r_m) = 0 = a_m$ .
- Si $a_m = 1$ , alors $3^m t - K_m = \frac{2}{3} + r_m \in [2/3, 1]$ . Par définition de $f$ , $f(\frac{2}{3} + r_m) = 1 = a_m$ .
Dans tous les cas, on a $f(3^m t) = a_m$ . En injectant ce résultat dans les expressions de $u(t)$ $u (t)$ et $v(t)$ $v (t)$ :
$u(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{2n}}{2^{n+1}} = x \text{et} v(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{2n+1}}{2^{n+1}} = y$
On a donc trouvé $t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$ tel que $F(t) = (x, y)$ $F (t) = (x, y)$ .

$\boxed{F([0, 1]) = [0, 1]^2}$

Utiliser des chiffres 1 dans le développement triadique de t, ce qui rend le calcul de f(3^m t) difficile car f n'est pas constante sur [1/3, 2/3].

Il existe des applications continues d'un intervalle vers un carré qui sont surjectives (courbes remplissantes).