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Calcul d'une intégrale par développement en série entière

intégrabilitésérie entièrelogarithmefonction zêtaThéorème de convergence monotoneIntégration par parties

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0,1[]0, 1[ par :

f(t)=ln⁡(t)ln⁡(1−t)tf(t) = \frac{\ln(t) \ln(1-t)}{t}

  1. Démontrer que la fonction ff est intégrable sur l'intervalle ]0,1[]0, 1[.
  2. En utilisant un développement en série entière, établir l'égalité suivante :
    ∫01ln⁡(t)ln⁡(1−t)t dt=∑n=1+∞1n3\int_0^1 \frac{\ln(t) \ln(1-t)}{t}   dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}

1.

Pour l'intégrabilité, effectuer un développement limité ou rechercher des équivalents aux bornes 00 et 11. Rappeler que t↦ln⁡(t)t \mapsto \ln(t) est intégrable au voisinage de 00.

2.

Utiliser le développement en série entière de t↦ln⁡(1−t)t \mapsto \ln(1-t) pour t∈[0,1[t \in [0, 1[.

3.

Justifier l'interversion de la somme et de l'intégrale en utilisant le théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions positives.

Idées clés

•

Étude locale des fonctions (équivalents et croissances comparées).

•

Développement en série entière de la fonction logarithme.

•

Théorème de convergence monotone ou d'intégration terme à terme pour les fonctions positives.

1. Étude de l'intégrabilité de ff.

La fonction ff est continue sur ]0,1[]0, 1[. Étudions son comportement aux bornes :

Au voisinage de 00 : On sait que ln⁡(1−t)=−t+O(t2)\ln(1-t) = -t + O(t^2) quand t→0t \to 0. Ainsi :

f(t)=ln⁡(t)(−t+O(t2))t=−ln⁡(t)+O(tln⁡(t))f(t) = \frac{\ln(t) (-t + O(t^2))}{t} = -\ln(t) + O(t \ln(t))
Comme lim⁡t→0tln⁡(t)=0\lim_{t \to 0} t \ln(t) = 0, on en déduit que f(t)∼−ln⁡(t)f(t) \sim -\ln(t). Or, la fonction t↦ln⁡(t)t \mapsto \ln(t) est intégrable au voisinage de 00 (sa primitive tln⁡t−tt \ln t - t tend vers 00). Par comparaison, ff est intégrable en 00.

Au voisinage de 11 : Posons h=1−th = 1-t. Quand t→1t \to 1, h→0+h \to 0^+.

f(1−h)=ln⁡(1−h)ln⁡(h)1−h∼−hln⁡(h)f(1-h) = \frac{\ln(1-h) \ln(h)}{1-h} \sim -h \ln(h)
On a lim⁡h→0hln⁡(h)=0\lim_{h \to 0} h \ln(h) = 0, donc la fonction ff se prolonge par continuité en 11 en posant f(1)=0f(1) = 0. L'intégrabilité sur ]0,1[]0, 1[ est donc acquise.

f est inteˊgrable sur ]0,1[\boxed{f \text{ est intégrable sur } ]0, 1[}

2. Calcul de l'intégrale.

Pour t∈]0,1[t \in ]0, 1[, on utilise le développement en série entière :

ln⁡(1−t)=−∑n=1+∞tnn\ln(1-t) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n}
En injectant ce développement dans l'expression de f(t)f(t), on obtient :
f(t)=ln⁡(t)t(−∑n=1+∞tnn)=∑n=1+∞(−tn−1ln⁡(t)n)f(t) = \frac{\ln(t)}{t} \left( -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( -\frac{t^{n-1} \ln(t)}{n} \right)

Soit un(t)=−tn−1ln⁡(t)nu_n(t) = -\frac{t^{n-1} \ln(t)}{n} pour t∈]0,1[t \in ]0, 1[. On remarque que pour tout t∈]0,1[t \in ]0, 1[, ln⁡(t)<0\ln(t) < 0, donc un(t)≥0u_n(t) \geq 0. Les fonctions unu_n sont continues et intégrables sur ]0,1[]0, 1[. Calculons l'intégrale de unu_n par une intégration par parties :

∫01tn−1ln⁡(t) dt=[tnnln⁡(t)]01−∫01tnn⋅1t dt\int_0^1 t^{n-1} \ln(t)   dt = \left[ \frac{t^n}{n} \ln(t) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^n}{n} \cdot \frac{1}{t}   dt
Le terme entre crochets est nul car lim⁡t→0tnln⁡(t)=0\lim_{t \to 0} t^n \ln(t) = 0 pour n≥1n \geq 1. Il reste :
∫01tn−1ln⁡(t) dt=−1n∫01tn−1 dt=−1n2\int_0^1 t^{n-1} \ln(t)   dt = - \frac{1}{n} \int_0^1 t^{n-1}   dt = - \frac{1}{n^2}

On en déduit :

∫01un(t) dt=−1n(−1n2)=1n3\int_0^1 u_n(t)   dt = -\frac{1}{n} \left( -\frac{1}{n^2} \right) = \frac{1}{n^3}

Puisque les fonctions unu_n sont positives, le théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions positives s'applique (ou le théorème de convergence monotone) :

∫01∑n=1+∞un(t) dt=∑n=1+∞∫01un(t) dt\int_0^1 \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(t)   dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^1 u_n(t)   dt

Finalement :

∫01ln⁡(t)ln⁡(1−t)t dt=∑n=1+∞1n3\boxed{\int_0^1 \frac{\ln(t) \ln(1-t)}{t}   dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}}

Oubli de la justification de l'interversion somme-intégrale ou erreur de signe sur l'intégrale de ln(t).

L'intégrale de t^k * ln(t) sur [0,1] vaut -1/(k+1)^2.