Sommabilité et régularité de séries trigonométriques

Résolution.

1. Existence et continuité de $u$. Pour montrer que $u$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$, il suffit de prouver la convergence normale de la série de fonctions $\sum a_n e^{inx}$ sur $\mathbb{R}$. Le terme général est majoré par $|a_n e^{inx}| = |a_n|$. Pour $n \neq 0$, on peut écrire :
   $$|a_n| = |n a_n| \times \frac{1}{|n|}$$
   D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les familles sommables (ou les séries), on a :
   $$\sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} |a_n| \le \sqrt{\sum_{n \neq 0} n^2 |a_n|^2} \times \sqrt{\sum_{n \neq 0} \frac{1}{n^2}}$$
   Par hypothèse, la famille $(n^2 a_n^2)$ est sommable. Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, le produit des deux racines est fini. La série $\sum |a_n|$ converge donc absolument. La série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$. Comme chaque fonction $x \mapsto a_n e^{inx}$ est continue sur $\mathbb{R}$, on en déduit :
   $$\boxed{u \text{ est définie et continue sur } \mathbb{R}.}$$

2. Condition sur $\alpha$. Condition suffisante : Reprenons le raisonnement précédent pour $n \neq 0$ :
   $$|a_n| = \left( |n|^{\alpha/2} |a_n| \right) \times \frac{1}{|n|^{\alpha/2}}$$
   Par Cauchy-Schwarz :
   $$\sum_{n \neq 0} |a_n| \le \sqrt{\sum_{n \neq 0} |n|^\alpha |a_n|^2} \times \sqrt{\sum_{n \neq 0} \frac{1}{|n|^\alpha}}$$
   La première somme converge par hypothèse. La seconde somme $\sum \frac{1}{|n|^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. Ainsi, $\alpha > 1$ est une condition suffisante. Condition nécessaire : Supposons $\alpha \le 1$. Considérons la suite définie par $a_n = \frac{1}{|n| \ln(|n|)}$ pour $|n| \ge 2$ et $a_n = 0$ sinon. Alors $|n|^\alpha a_n^2 = \frac{|n|^\alpha}{n^2 (\ln |n|)^2} = \frac{1}{|n|^{2-\alpha} (\ln |n|)^2}$. Comme $2-\alpha \ge 1$, cette famille est sommable (pour $\alpha=1$, c'est une série de Bertrand convergente). Cependant, $\sum a_n = \sum \frac{1}{n \ln n}$ diverge. À l'origine ($x=0$), la série $\sum a_n e^{i n 0} = \sum a_n$ ne converge pas. L'ensemble des $\alpha$ cherchés est donc :
   $$\boxed{\alpha > 1}$$

3. Régularité supplémentaire. Supposons $(n^4 a_n^2)$ sommable. Étudions la série des dérivées $\sum (i n a_n) e^{inx}$. On majore le terme général de la dérivée par $|n a_n|$. En utilisant Cauchy-Schwarz :
   $$\sum_{n \neq 0} |n a_n| = \sum_{n \neq 0} |n^2 a_n| \times \frac{1}{|n|} \le \sqrt{\sum_{n \neq 0} n^4 |a_n|^2} \times \sqrt{\sum_{n \neq 0} \frac{1}{n^2}}$$
   Les deux sommes à droite convergent. La série des dérivées converge donc normalement sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $u$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et :
   $$u'(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} i n a_n e^{inx}$$
   Conclusion :
   $$\boxed{u \text{ est de classe } C^1 \text{ sur } \mathbb{R}.}$$