Développement en série d'une intégrale et application

Résolution.

1. Étude de l'intégrabilité. La fonction $f : t \mapsto \frac{t^{a-1}}{1+t^b}$ est continue et positive sur $]0, 1]$. Le problème de convergence se situe uniquement en $0$. Cas 1 : $b > 0$. Au voisinage de $0$, on a $t^b \to 0$, donc $f(t) \sim t^{a-1}$. L'intégrale converge si et seulement si $a-1 > -1$, soit $\boxed{a > 0}$. Cas 2 : $b < 0$. Posons $b' = -b > 0$. Alors $f(t) = \frac{t^{a-1}}{1+t^{-b'}} = \frac{t^{a-1+b'}}{t^{b'}+1} \sim t^{a-1-b}$. L'intégrale converge si et seulement si $a-1-b > -1$, soit $\boxed{a > b}$. Cas 3 : $b = 0$. $f(t) = \frac{1}{2}t^{a-1}$. L'intégrale converge si et seulement si $\boxed{a > 0}$.

2. Développement en série.
   1. On suppose $b > 0$ et $a > 0$. Pour tout $t \in [0, 1[$, on a :
      $$\frac{t^{a-1}}{1+t^b} = t^{a-1} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n (t^b)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^{nb+a-1}$$
      Soit $S_N(t) = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n t^{nb+a-1}$. C'est la somme partielle d'une série alternée dont le terme général tend vers $0$ de façon monotone pour $t \in [0, 1[$. D'après le critère des séries alternées, on a pour tout $N \in \mathbb{N}$ :
      $$\left| \sum_{n=0}^{N} (-1)^n t^{nb+a-1} \right| \leq t^{a-1}$$
      La fonction $g : t \mapsto t^{a-1}$ est intégrable sur $]0, 1]$ car $a > 0$. En appliquant le théorème de convergence dominée, on peut intervertir :
      $$\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \int_0^1 t^{nb+a-1}   dt$$
      Or, $\int_0^1 t^{nb+a-1}   dt = \left[ \frac{t^{nb+a}}{nb+a} \right]_0^1 = \frac{1}{nb+a}$. D'où :
      $$\boxed{\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{nb+a}}$$

   2. On cherche à avoir $\sum \frac{(-1)^n}{an+b}$. D'après la formule précédente, il suffit d'échanger les rôles de $a$ et $b$. L'égalité est donc vérifiée si l'on choisit l'intégrale $I(b,a)$, ce qui nécessite $\boxed{a > 0 \text{ et } b > 0}$ (en supposant $a$ jouant le rôle de l'incrément de la série).

3. Calcul de la somme. On cherche $S = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}$. D'après la question 2, avec $a=3$ et $b=1$, on a :
   $$S = \int_0^1 \frac{t^{1-1}}{1+t^3}   dt = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^3}$$
   Effectuons une décomposition en éléments simples :
   $$\frac{1}{1+t^3} = \frac{1}{(1+t)(t^2-t+1)} = \frac{A}{1+t} + \frac{Bt+C}{t^2-t+1}$$
   Par identification ou calcul de résidus, on trouve $A = \frac{1}{3}$. Pour $t=0$, $1 = A+C \implies C = \frac{2}{3}$. En multipliant par $t$ et en faisant $t \to \infty$, $0 = A+B \implies B = -\frac{1}{3}$. Ainsi :
   $$\frac{1}{1+t^3} = \frac{1}{3} \frac{1}{1+t} - \frac{1}{3} \frac{t-2}{t^2-t+1}$$
   On réécrit le second terme pour faire apparaître la dérivée de $t^2-t+1$ (qui est $2t-1$) :
   $$\frac{t-2}{t^2-t+1} = \frac{1}{2} \frac{2t-1}{t^2-t+1} - \frac{3/2}{t^2-t+1}$$
   L'intégrale devient :
   $$S = \frac{1}{3} \ln(2) - \frac{1}{6} \left[ \ln(t^2-t+1) \right]_0^1 + \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{(t-1/2)^2 + 3/4}$$
   $$S = \frac{\ln 2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan\left( \frac{2t-1}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1$$
   $$S = \frac{\ln 2}{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right)$$
   Sachant que $\arctan(1/\sqrt{3}) = \pi/6$, on obtient :
   $$\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}} }$$