Étude d'une suite d'intégrales par développement en série

Résolution.

1. Étude aux bornes : En 0 : Par croissances comparées, nous savons que $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$. Comme $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x-1} = 0$, on en déduit par produit :
   $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$$
   En 1 : On utilise l'équivalent classique $\ln(x) = \ln(1 + (x-1)) \sim_{x \to 1} x-1$. Ainsi, $\frac{\ln(x)}{x-1} \xrightarrow[x \to 1]{} 1$. Par produit avec $\lim_{x \to 1} x^2 = 1$, on obtient :
   $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$$
   La fonction $f$ est continue sur $]0, 1[$ et admet des limites finies en 0 et en 1.
   $$\boxed{\text{Il existe un prolongement } \tilde{f} \text{ continu de } f \text{ sur } [0, 1].}$$

2. Existence et limite de $I_n$ : Puisque $\tilde{f}$ est continue sur le segment $[0, 1]$, elle y est bornée. Notons $M = \sup_{x \in [0, 1]} |\tilde{f}(x)|$. L'intégrale $I_n$ est celle d'une fonction continue sur $]0, 1[$ et prolongeable par continuité sur $[0, 1]$, elle est donc bien définie (intégrale faussement impropre). Pour tout $x \in [0, 1]$, on a $|x^n \tilde{f}(x)| \leq M x^n$. Par croissance de l'intégrale :
   $$|I_n| \leq \int_0^1 M x^n   dx = \frac{M}{n+1}$$
   Par le théorème d'encadrement, puisque $\lim_{n \to \infty} \frac{M}{n+1} = 0$, on conclut :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} I_n = 0}$$

3. Développement en série : Pour $x \in [0, 1[$, on écrit $f$ sous la forme :
   $$x^n f(x) = \frac{-x^{n+2} \ln(x)}{1-x} = -x^{n+2} \ln(x) \sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \sum_{k=0}^{+\infty} (-x^{n+k+2} \ln(x))$$
   Posons $u_k(x) = -x^{n+k+2} \ln(x)$. Ces fonctions sont continues et positives sur $]0, 1[$. Vérifions l'intégrabilité et calculons l'intégrale de chaque terme par intégration par parties : Pour $m \in \mathbb{N}$, soit $J_m = \int_0^1 -x^m \ln(x)   dx$. En posant $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = -x^m$, on a $u'(x) = 1/x$ et $v(x) = -\frac{x^{m+1}}{m+1}$.
   $$J_m = \left[ -\frac{x^{m+1}}{m+1} \ln(x) \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{x^m}{m+1}   dx = 0 + \left[ \frac{x^{m+1}}{(m+1)^2} \right]_0^1 = \frac{1}{(m+1)^2}$$
   Ici $m = n+k+2$. La série $\sum \int_0^1 |u_k(x)|   dx = \sum \frac{1}{(n+k+3)^2}$ converge (série de Riemann). D'après le théorème d'intégration terme à terme pour les fonctions positives :
   $$I_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^1 u_k(x)   dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+k+3)^2}$$
   En effectuant un changement d'indice $j = n+k+3$, on peut aussi écrire :
   $$\boxed{I_n = \sum_{j=n+3}^{+\infty} \frac{1}{j^2}}$$