Approximation rationnelle d'une intégrale logarithmique

On considère l'intégrale définie par :

I = \int_0^1 e^{-t}\ln t   dt

Justifier que la fonction $t \mapsto e^{-t}\ln t$ est intégrable sur l'intervalle $]0, 1]$ .
En utilisant un développement en série entière, exprimer $I$ comme la somme d'une série numérique.
Déterminer une valeur approchée de $I$ par un nombre rationnel avec une précision de $10^{-3}$ .

1.

Pour l'intégrabilité, comparer la fonction au voisinage de $0$ avec la fonction logarithme pur.

2.

Utiliser le développement en série entière de l'exponentielle et justifier l'interversion de la somme et de l'intégrale (on pourra se ramener à un segment en prolongeant les fonctions par continuité).

3.

Pour le calcul de $\int_0^1 t^n \ln t dt$ , une intégration par parties est efficace.

4.

Utiliser le critère spécial des séries alternées pour majorer le reste et déterminer le rang nécessaire pour la précision demandée.

Idées clés

•

Intégrabilité par comparaison (équivalents).

•

Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions.

•

Intégration par parties pour les moments du logarithme.

•

Majoration du reste d'une série alternée.

1. Étude de l'intégrabilité.

La fonction $f : t \mapsto e^{-t}\ln t$ est continue sur $]0, 1]$ .

Au voisinage de $0$ , nous avons l'équivalent suivant :

f(t) \sim \ln t

Or, on sait que la fonction $t \mapsto \ln t$ est intégrable sur $]0, 1]$ (sa primitive $t\ln t - t$ admet une limite finie en $0$ ).

Par comparaison de fonctions de signe constant, $f$ est intégrable sur $]0, 1]$ . Ainsi :

\boxed{I \text{ est bien définie.}}

2. Expression sous forme de série.

Pour tout $t \in ]0, 1]$ , on utilise le développement en série entière de l'exponentielle :

e^{-t} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-t)^n}{n!}

On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $]0, 1]$ par :

f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n!} t^n \ln t

Pour $n \geq 1$ , la fonction $f_n$ est prolongeable par continuité en $0$ car $\lim_{t \to 0} t^n \ln t = 0$ . De plus, la fonction $t \mapsto |t \ln t|$ est bornée sur $]0, 1]$ par son maximum atteint en $1/e$ , noté $M = 1/e$ .

On en déduit que pour tout $n \geq 1$ :

\| f_n \|_{\infty} \leq \frac{1}{n! e}

La série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_n$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $[0, 1]$ . Par le théorème d'intégration sur un segment, nous pouvons intervertir la somme et l'intégrale pour la partie $n \geq 1$ :

\int_0^1 \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(t)   dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^1 f_n(t)   dt

Le terme $n=0$ correspondant à $f_0(t) = \ln t$ étant intégrable sur $]0, 1]$ , on obtient :

I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^1 t^n \ln t   dt

Calculons l'intégrale générique par parties pour $n \in \mathbb{N}$ :

\int_0^1 t^n \ln t   dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^n}{n+1}   dt = 0 - \frac{1}{(n+1)^2}

En réinjectant ce résultat :

I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \left( - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)! (n+1)}

En posant le changement d'indice $k = n+1$ , nous obtenons :

\boxed{I = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k \cdot k!}}

3. Approximation numérique.

La série obtenue est une série alternée $\sum (-1)^k a_k$ avec $a_k = \frac{1}{k \cdot k!}$ . La suite $(a_k)_{k \geq 1}$ est positive, décroissante et tend vers $0$ .

D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), le reste d'ordre $N$ , $R_N = \sum_{k=N+1}^{+\infty} (-1)^k a_k$ , est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé :

|R_N| \leq a_{N+1} = \frac{1}{(N+1)(N+1)!}

On cherche $N$ tel que $a_{N+1} \leq 10^{-3}$ , soit $(N+1)(N+1)! \geq 1000$ .

Pour $N=4$ , $a_5 = \frac{1}{5 \cdot 120} = \frac{1}{600} > 10^{-3}$ .
Pour $N=5$ , $a_6 = \frac{1}{6 \cdot 720} = \frac{1}{4320} \leq 10^{-3}$ .

Une valeur approchée à $10^{-3}$ près est donc donnée par la somme partielle $S_5$ :

S_5 = \sum_{k=1}^5 \frac{(-1)^k}{k \cdot k!} = -1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{18} + \frac{1}{96} - \frac{1}{600}

Réduisons au même dénominateur ( $7200$ ) :

S_5 = \frac{-7200 + 1800 - 400 + 75 - 12}{7200} = -\frac{5737}{7200}

\boxed{I \approx -\frac{5737}{7200} \approx -0,7968}

Justification rigoureuse de l'interversion somme-intégrale sur un intervalle non compact.

Formule des moments du logarithme : intégrale de t^n ln(t) sur [0,1].