Sommation d'une série rationnelle par intégration

Résolution.

1. Convergence de la série. On observe que pour $n$ au voisinage de $+\infty$ :
   $$u_n \sim \frac{1}{64n^2}$$
   Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum u_n$ converge.
2. Représentation intégrale. Commençons par décomposer le terme général en éléments simples :
   $$u_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{8n+1} - \frac{1}{8n+5} \right)$$
   Considérons la série entière $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{8n+5}}{(8n+1)(8n+5)}$. Son rayon de convergence est $1$. D'après le théorème de convergence normale sur $[0, 1]$ (car $|u_n x^{8n+5}| \leq |u_n|$), la fonction $S$ est continue en $1$. On a donc :
   $$S = S(1) = \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{8n+5}}{(8n+1)(8n+5)}$$
   Pour $x \in [0, 1[$, on peut dériver terme à terme :
   $$S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{8n+4}}{8n+1} = x^4 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{8n}}{8n+1}$$
   Ceci n'est pas immédiatement intégrable sous une forme simple. Utilisons plutôt la décomposition de $u_n$ directement. Posons pour $x \in [0, 1[$ :
   $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n x^{8n+5} = \frac{1}{4} \left( x^4 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{8n+1}}{8n+1} - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{8n+5}}{8n+5} \right)$$
   En dérivant, on obtient pour $x \in [0, 1[$ :
   $$\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{8n+1}}{8n+1} \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^{8n} = \frac{1}{1-x^8}$$
   $$\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0^{+\infty}} \frac{x^{8n+5}}{8n+5} \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^{8n+4} = \frac{x^4}{1-x^8}$$
   Ainsi, en intégrant depuis $0$ :
   $$S(x) = \frac{1}{4} \left( x^4 \int_0^x \frac{dt}{1-t^8} - \int_0^x \frac{t^4   dt}{1-t^8} \right)$$
   Par passage à la limite $x \to 1^-$, et en regroupant sous une seule intégrale (justifié par la convergence de l'intégrale impropre) :
   $$S = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{1-t^4}{1-t^8}   dt = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{1-t^4}{(1-t^4)(1+t^4)}   dt$$
   On obtient la forme simplifiée :
   $$\boxed{ S = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{dt}{1+t^4} }$$
3. Calcul de la valeur exacte. Décomposons l'intégrande. On sait que $t^4+1 = (t^2+1)^2 - 2t^2 = (t^2-\sqrt{2}t+1)(t^2+\sqrt{2}t+1)$. La décomposition en éléments simples est de la forme :
   $$\frac{1}{1+t^4} = \frac{at+b}{t^2+\sqrt{2}t+1} + \frac{ct+d}{t^2-\sqrt{2}t+1}$$
   Par parité et identification, on trouve $b=d=1/2$ et $a=-c=1/(2\sqrt{2})$. D'où :
   $$\frac{1}{1+t^4} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{t+\sqrt{2}}{t^2+\sqrt{2}t+1} - \frac{t-\sqrt{2}}{t^2-\sqrt{2}t+1} \right)$$
   Intégrons chaque terme :
   $$\int \frac{t+\sqrt{2}}{t^2+\sqrt{2}t+1}   dt = \frac{1}{2} \ln(t^2+\sqrt{2}t+1) + \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\sqrt{2}t+1)$$
   En sommant les contributions, la primitive $F(t)$ de $\frac{1}{1+t^4}$ est :
   $$F(t) = \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \left( \frac{t^2+\sqrt{2}t+1}{t^2-\sqrt{2}t+1} \right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan(\sqrt{2}t+1) + \arctan(\sqrt{2}t-1) \right)$$
   Évaluons entre 0 et 1 :
   $$F(1) = \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \left( \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan(\sqrt{2}+1) + \arctan(\sqrt{2}-1) \right)$$
   On utilise les relations : $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2} = 3 + 2\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2$. Et $\arctan(\sqrt{2}+1) = \frac{3\pi}{8}$, $\arctan(\sqrt{2}-1) = \frac{\pi}{8}$. Leur somme vaut $\frac{\pi}{2}$. L'intégrale vaut donc :
   $$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{\pi}{4\sqrt{2}}$$
   Finalement, n'oublions pas le facteur $1/4$ :
   $$\boxed{ S = \frac{1}{8\sqrt{2}} \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{\pi}{16\sqrt{2}} }$$