Représentation intégrale de la fonction Zêta

Résolution.

1. Étude de la convergence et de la somme.

   Soit $t \in ]0, +\infty[$. On pose $f_n(t) = e^{-nt} t^{s-1}$.

   Pour $t > 0$, on a $0 < e^{-t} < 1$. La série $\sum_{n \ge 1} (e^{-t})^n$ est une série géométrique convergente.

   On en déduit que la série $\sum f_n(t)$ converge simplement sur $]0, +\infty[$. Sa somme est donnée par :

   $$S(t) = t^{s-1} \sum_{n=1}^{+\infty} (e^{-t})^n = t^{s-1} \frac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} = \frac{t^{s-1}}{e^t - 1}$$

2. Intégration terme à terme.

   Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, les fonctions $f_n$ sont continues et positives sur $]0, +\infty[$.

   Vérifions l'intégrabilité de chaque fonction $f_n$ sur $]0, +\infty[$. Au voisinage de $0$, $f_n(t) \sim t^{s-1}$. Comme $s > 1$, on a $s-1 > 0$, donc $f_n$ est prolongeable par continuité en $0$. Au voisinage de $+\infty$, par croissance comparée, $t^2 f_n(t) \to 0$, donc $f_n$ est intégrable.

   Calculons l'intégrale de $f_n$ en effectuant le changement de variable linéaire $u = nt$, d'où $\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{n}$ :

   $$\int_0^{+\infty} f_n(t)   \mathrm{d}t = \int_0^{+\infty} e^{-u} \left(\frac{u}{n}\right)^{s-1} \frac{\mathrm{d}u}{n}$$

   En sortant les constantes de l'intégrale, nous obtenons :

   $$\int_0^{+\infty} f_n(t)   \mathrm{d}t = \frac{1}{n^s} \int_0^{+\infty} e^{-u} u^{s-1}   \mathrm{d}u$$

   On reconnaît l'expression de la fonction Gamma, soit :

   $$\boxed{ \int_0^{+\infty} f_n(t)   \mathrm{d}t = \frac{\Gamma(s)}{n^s} }$$

   Puisque les fonctions $f_n$ sont positives et continues par morceaux, nous pouvons appliquer le théorème d'intégration terme à terme (version convergence monotone ou corollaire du théorème de convergence dominée pour les séries positives).

   La série $\sum \int_0^{+\infty} f_n$ converge si et seulement si la série $\sum \frac{\Gamma(s)}{n^s}$ converge. Comme $s > 1$, la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^s}$ converge, donc la série des intégrales converge.

   D'après le théorème d'intégration terme à terme :

   $$\int_0^{+\infty} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(t) \right)   \mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^{+\infty} f_n(t)   \mathrm{d}t$$

   En remplaçant par les expressions obtenues précédemment :

   $$\int_0^{+\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t - 1}   \mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Gamma(s)}{n^s}$$

   Par linéarité de la somme (car $\Gamma(s)$ ne dépend pas de $n$) :

   $$\boxed{ \int_0^{+\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t - 1}   \mathrm{d}t = \Gamma(s) \zeta(s) }$$