Intégrale d'une fonction puissance pondérée par une exponentielle

Résolution.

1. Soit $(x, t) \in \mathbb{R}_+ \times ]0, 1]$. On peut écrire :
   $$f(x, t) = t^x \cdot t^{-t} = t^x \exp(-t \ln t)$$

   En utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, valable sur $\mathbb{R}$, on obtient :

   $$\exp(-t \ln t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-t \ln t)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} t^n (\ln t)^n$$

   En multipliant par $t^x$, on obtient bien le résultat demandé :

   $$\boxed{ f(x, t) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} t^{x + n}(\ln t)^n }$$

2. Existence : La fonction $h : t \mapsto t^y (\ln t)^q$ est continue sur $]0, 1]$. Si $y > 0$, par croissances comparées, $\lim_{t \to 0^+} h(t) = 0$, donc $h$ est prolongeable par continuité en $0$, ce qui assure l'intégrabilité. Si $y = 0$, $h(t) = (\ln t)^q$. On sait que $t^{1/2} (\ln t)^q \xrightarrow{t \to 0} 0$, donc $h(t) = o(t^{-1/2})$. Comme $t \mapsto t^{-1/2}$ est intégrable au voisinage de $0$ (intégrale de Riemann, $1/2 < 1$), $h$ est intégrable. L'intégrale $I(y, q)$ est donc bien définie pour tout $(y, q) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{N}$.

   Relation de récurrence : Pour $q \geq 1$, effectuons une intégration par parties. Posons :

   $$u(t) = (\ln t)^q \implies u'(t) = \frac{q (\ln t)^{q-1}}{t}$$
   $$v'(t) = t^y \implies v(t) = \frac{t^{y+1}}{y+1}$$
   Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathscr{C}^1$ sur $]0, 1]$. Le produit $uv$ possède une limite finie en $0$ et en $1$ ($uv(1)=0$ et $\lim_{0} uv = 0$). Ainsi :
   $$I(y, q) = \left[ \frac{t^{y+1} (\ln t)^q}{y+1} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{q}{y+1} t^y (\ln t)^{q-1}   dt$$
   On obtient la relation :
   $$\boxed{ I(y, q) = - \frac{q}{y+1} I(y, q-1) }$$

   Expression explicite : Par une récurrence immédiate, on a :

   $$I(y, q) = \frac{(-1)^q q!}{(y+1)^q} I(y, 0)$$
   Or $I(y, 0) = \int_0^1 t^y   dt = \frac{1}{y+1}$. D'où :
   $$\boxed{ I(y, q) = \frac{(-1)^q q!}{(y+1)^{q+1}} }$$

3. (b) Expression de $F$ sous forme de somme : (Nous traitons le calcul avant la régularité pour identifier la série). Posons $u_n(t) = \frac{(-1)^n}{n!} t^{x+n} (\ln t)^n$. Pour $x$ fixé dans $\mathbb{R}_+$, $u_n$ est continue et intégrable sur $]0, 1]$. Calculons $\int_0^1 |u_n(t)|   dt$. Comme $\ln t \leq 0$ sur $]0, 1]$, on a $|\ln t|^n = (-1)^n (\ln t)^n$.
   $$\int_0^1 |u_n(t)|   dt = \frac{1}{n!} \int_0^1 t^{x+n} (-1)^n (\ln t)^n   dt = \frac{(-1)^n}{n!} I(x+n, n)$$
   En utilisant le résultat de la question 2 :
   $$\int_0^1 |u_n(t)|   dt = \frac{(-1)^n}{n!} \frac{(-1)^n n!}{(x+n+1)^{n+1}} = \frac{1}{(x+n+1)^{n+1}}$$

   Notons $v_n = \frac{1}{(x+n+1)^{n+1}}$. Pour $n \geq 1$, $0 \leq v_n \leq \frac{1}{(n+1)^2}$ (ou utilisation de d'Alembert comme dans la source). La série $\sum \int_0^1 |u_n|$ converge. D'après le théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions, on peut intervertir $\int$ et $\sum$ :

   $$F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 u_n(t)   dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} I(x+n, n)$$
   En remplaçant $I(x+n, n)$ par sa valeur :
   $$\boxed{ F(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{n!}{(x + n + 1)^{n + 1}} }$$

4. (a) Classe $\mathscr{C$^1 :} Posons $w_n(x) = \frac{n!}{(x + n + 1)^{n + 1}}$. Chaque $w_n$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$.
   $$w_n'(x) = n! \cdot (-(n+1)) \cdot (x + n + 1)^{-(n+2)} = - \frac{(n+1)!}{(x + n + 1)^{n + 2}}$$
   Pour montrer que $F$ est $\mathscr{C}^1$, montrons la convergence normale de $\sum w_n'$ sur $\mathbb{R}_+$. Pour tout $x \geq 0$, $|w_n'(x)| \leq \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+2}} = \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}$. Soit $\alpha_n = \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}$. Appliquons le critère de d'Alembert :
   $$\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n} = \frac{(n+1)!}{(n+2)^{n+2}} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n!} = \frac{(n+1)^{n+2}}{(n+2)^{n+2}} = \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right)^{n+2}$$
   On sait que $\left(1 - \frac{1}{k}\right)^k \xrightarrow{k \to +\infty} e^{-1} = \frac{1}{e}$. Comme $\frac{1}{e} < 1$, la série $\sum \alpha_n$ converge. La série $\sum w_n'$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}_+$. Par le théorème de dérivation des séries de fonctions, $F$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$.