Série entière et intégrales de Dirichlet discrètes

Résolution.

1. Existence et réécriture de $a_n$. Posons le changement de variable $u = \frac{t}{n}$, d'où $\mathrm{d}t = n \mathrm{d}u$. Les bornes deviennent $0$ et $\pi/2$. L'expression devient :
   $$a_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(nu)}{n \sin u} \cdot n \mathrm{d}u = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(nu)}{\sin u} \mathrm{d}u$$
   La fonction $f_n : u \mapsto \frac{\sin(nu)}{\sin u}$ est continue sur $]0, \pi/2]$. En $0$, on a $\sin(nu) \sim nu$ et $\sin u \sim u$, donc $f_n(u) \to n$. La fonction est prolongeable par continuité en $0$, l'intégrale est donc bien définie sur le segment $[0, \pi/2]$.

2. Calcul de la différence $a_{n+2$ - a_n.} Pour tout $n \geqslant 1$, on a par linéarité de l'intégrale :
   $$a_{n+2} - a_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((n+2)u) - \sin(nu)}{\sin u} \mathrm{d}u$$
   En utilisant la formule $\sin p - \sin q = 2 \sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \cos\left(\frac{p+q}{2}\right)$, on obtient :
   $$\sin((n+2)u) - \sin(nu) = 2 \sin u \cos((n+1)u)$$
   Ainsi :
   $$a_{n+2} - a_n = 2 \int_0^{\pi/2} \cos((n+1)u) \mathrm{d}u = 2 \left[ \frac{\sin((n+1)u)}{n+1} \right]_0^{\pi/2}$$
   $$\boxed{ a_{n+2} - a_n = \frac{2}{n+1} \sin\left( (n+1)\frac{\pi}{2} \right) }$$

3. Calcul des termes généraux. $\bullet$ Cas impair : $a_1 = \int_0^{\pi/2} 1 \mathrm{d}u = \frac{\pi}{2}$. Pour tout $p \geqslant 1$, $a_{2p+1} - a_{2p-1} = \frac{2}{2p} \sin(p\pi) = 0$. Par récurrence immédiate :
   $$\boxed{ \forall p \in \mathbb{N}, \ a_{2p+1} = \frac{\pi}{2} }$$
   $\bullet$ Cas pair : $a_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{2\sin u \cos u}{\sin u} \mathrm{d}u = 2 \int_0^{\pi/2} \cos u \mathrm{d}u = 2$. Pour $p \geqslant 1$, $a_{2p+2} - a_{2p} = \frac{2}{2p+1} \sin((2p+1)\frac{\pi}{2}) = \frac{2(-1)^p}{2p+1}$. En sommant ces relations :
   $$a_{2p} = a_2 + \sum_{k=1}^{p-1} \frac{2(-1)^k}{2k+1} = 2 \sum_{k=0}^{p-1} \frac{(-1)^k}{2k+1}$$
   On reconnaît une somme partielle de la série de Gregory convergeant vers $2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

4. Rayon de convergence. La suite $(a_{2p+1})$ est constante égale à $\pi/2$. La suite $(a_{2p})$ converge vers $\pi/2$, elle est donc bornée. Ainsi, la suite $(a_n)$ est bornée et ne tend pas vers 0. Comme $(a_n)$ est bornée, $R \geqslant 1$. Comme $a_n \not\to 0$, la série $\sum a_n x^n$ diverge grossièrement pour $x=1$ (et pour tout $|x|>1$), donc $R \leqslant 1$.
   $$\boxed{ R = 1 }$$

5. Expression de $S(x)$. Soit $x \in ]-1, 1[$. On a $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(nu)}{\sin u} \mathrm{d}u \right) x^n$. Considérons les fonctions $g_n(u) = x^n \frac{\sin(nu)}{\sin u}$. Sur $[0, \pi/2]$, on a $|\frac{\sin(nu)}{\sin u}| \leqslant n$ (par l'inégalité des accroissements finis ou l'étude de la fonction). D'où $\|g_n\|_\infty \leqslant n |x|^n$. Comme $|x| < 1$, la série numérique $\sum n|x|^n$ converge. La série de fonctions $\sum g_n$ converge donc normalement sur le segment $[0, \pi/2]$. L'interversion somme-intégrale est justifiée :
   $$S(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin u} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} x^n \sin(nu) \right) \mathrm{d}u$$
   Calculons la somme interne pour $u \in ]0, \pi/2]$ :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} x^n \sin(nu) = \mathrm{Im} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} (xe^{iu})^n \right) = \mathrm{Im} \left( \frac{xe^{iu}}{1 - xe^{iu}} \right)$$
   $$\frac{xe^{iu}(1 - xe^{-iu})}{|1 - xe^{iu}|^2} = \frac{xe^{iu} - x^2}{1 - 2x\cos u + x^2}$$
   La partie imaginaire est $\frac{x\sin u}{1 - 2x\cos u + x^2}$. En remplaçant dans l'intégrale :
   $$\boxed{ S(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{x}{1 - 2x\cos u + x^2} \mathrm{d}u }$$