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Limite intégrale de la fonction Gamma

Gamma d'Eulerconvergence dominéeintégrale à paramètreThéorème de convergence dominée

Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et x>0x > 0, on définit l'intégrale :

In(x)=∫0ntx−1(1−tn)ndtI_n(x) = \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n \mathrm{d}t

En utilisant les résultats de convergence de suites de fonctions, déterminer lim⁡n→+∞In(x)\lim_{n \to +\infty} I_n(x). On exprimera le résultat à l'aide de la fonction Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt\Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t.

1.

Introduire la suite de fonctions gn(t)=tx−1(1−t/n)n1[0,n](t)g_n(t) = t^{x-1} (1-t/n)^n \mathbf{1}_{[0, n]}(t).

2.

Utiliser le théorème de convergence dominée pour intervertir limite et intégrale.

Idées clés

•

Théorème de convergence dominée.

•

Inégalité 1−u≤e−u1-u \le e^{-u}.

Résolution.

Posons, pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et t>0t > 0 :

gn(t)={tx−1(1−tn)nsi 0<t≤n0si t>ng_n(t) = \begin{cases} t^{x-1} \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n & \text{si } 0 < t \le n
0 & \text{si } t > n \end{cases}

Ainsi, In(x)=∫0+∞gn(t)dtI_n(x) = \int_{0}^{+\infty} g_n(t) \mathrm{d}t. Vérifions les hypothèses du théorème de convergence dominée :

  1. Convergence simple : Pour tout t>0t > 0 fixé, dès que n>tn > t, gn(t)=tx−1exp⁡(nln⁡(1−t/n))g_n(t) = t^{x-1} \exp(n \ln(1-t/n)). D'après l'étude classique (voir Exercice 2), gn(t)→n→+∞tx−1e−tg_n(t) \xrightarrow[n \to +\infty]{} t^{x-1} e^{-t}. La limite simple gg est continue par morceaux sur ]0,+∞[]0, +\infty[.

  2. Domination : On a vu que pour tout u∈[0,1]u \in [0, 1], (1−u)n≤e−nu(1-u)^n \le e^{-nu}. En posant u=t/nu = t/n, on a pour tout t∈[0,n]t \in [0, n] :
    (1−tn)n≤e−t\left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n \le e^{-t}
    D'où, pour tout t>0t > 0 et tout n≥1n \ge 1 :
    ∣gn(t)∣≤tx−1e−t|g_n(t)| \le t^{x-1} e^{-t}
    Posons ϕ(t)=tx−1e−t\phi(t) = t^{x-1} e^{-t}. - Au voisinage de 0, ϕ(t)∼tx−1\phi(t) \sim t^{x-1}, qui est intégrable car x−1>−1x-1 > -1 (i.e., x>0x > 0). - Au voisinage de +∞+\infty, ϕ(t)=o(1/t2)\phi(t) = o(1/t^2) par croissance comparée. Ainsi, ϕ\phi est intégrable sur ]0,+∞[]0, +\infty[.

Par le théorème de convergence dominée, on peut intervertir la limite et l'intégrale :

lim⁡n→+∞In(x)=∫0+∞(lim⁡n→+∞gn(t))dt=∫0+∞tx−1e−tdt\lim_{n \to +\infty} I_n(x) = \int_{0}^{+\infty} \left( \lim_{n \to +\infty} g_n(t) \right) \mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t

lim⁡n→+∞In(x)=Γ(x)\boxed{ \lim_{n \to +\infty} I_n(x) = \Gamma(x) }

Vérifier la condition d'intégrabilité en 0 pour la domination.

L'inégalité (1-t/n)^n <= e^-t est l'outil de domination clé pour les approximations de type exponentiel.