Régularité d'une série de fonctions logarithmiques

Résolution.

1. Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Si $x = 0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(0) = 0$, donc la série converge et $S(0) = 0$. Si $x \neq 0$, on a par croissance comparée au voisinage de $+\infty$ :
   $$f_n(x) = \frac{\ln(1 + n^2 x^2)}{n^3} \sim \frac{2\ln(n)}{n^3}$$
   Or, d'après les séries de Bertrand (ou par comparaison avec $1/n^2$), on sait que $\sum \frac{\ln n}{n^3}$ converge. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum f_n(x)$ converge absolument.
   $$\boxed{D_S = \mathbb{R}}$$

2. Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
   $$f_n'(x) = \frac{1}{n^3} \frac{2n^2x}{1 + n^2x^2} = \frac{2x}{n(1 + n^2x^2)}$$
   Étudions la convergence normale de $\sum f_n'$. On pose $g_n(x) = \frac{2x}{n(1 + n^2x^2)}$. La fonction $x \mapsto \frac{2x}{1+n^2x^2}$ atteint son maximum en $x = 1/n$. En effet, en posant $u = nx$, on cherche le maximum de $u \mapsto \frac{2u}{n(1+u^2)}$. La valeur maximale est $\frac{2(1/n)}{n(1 + 1)} = \frac{1}{n^2}$. On en déduit :
   $$\forall x \in \mathbb{R},   |f_n'(x)| \leqslant \frac{1}{n^2}$$
   Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série $\sum f_n'$ converge normalement, donc uniformément, sur $\mathbb{R}$. Comme chaque $f_n$ est $\mathcal{C}^1$ et que $\sum f_n(0)$ converge, le théorème de dérivation des séries de fonctions s'applique.
   $$\boxed{S \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } \mathbb{R}}$$

3. Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$. Calculons $f_n''$ :
   $$f_n''(x) = \frac{2}{n} \frac{(1+n^2x^2) - x(2n^2x)}{(1+n^2x^2)^2} = \frac{2(1 - n^2x^2)}{n(1 + n^2x^2)^2}$$
   Fixons $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, étudions le terme général. Pour $n$ suffisamment grand (tel que $n > 1/a$), on a $nx > 1$, donc :
   $$|f_n''(x)| = \frac{2(n^2x^2 - 1)}{n(1 + n^2x^2)^2} \leqslant \frac{2n^2x^2}{n(n^2x^2)^2} = \frac{2}{n^3x^2} \leqslant \frac{2}{a^2 n^3}$$
   La série $\sum f_n''$ converge donc normalement sur tout segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$. Par théorème de dérivation, $S'$ est dérivable sur tout intervalle de la forme $[a, b]$, donc sur $]0, +\infty[$.
   $$\boxed{S \text{ est deux fois dérivable sur } ]0, +\infty[}$$