Régularité d'une série trigonométrique alternée

Résolution.

1. Convergence simple. Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Si $x=0$, $g_n(0)=0$ pour tout $n$, donc la série converge. Supposons $x \neq 0$. Lorsque $n \to +\infty$, $\frac{x}{n} \to 0$. Ainsi, à partir d'un certain rang $N$ (tel que $n \ge N \implies \frac{|x|}{n} \le \frac{\pi}{2}$), la suite $(|\sin(x/n)|)_{n \ge N}$ est décroissante et tend vers $0$. De plus, $\sin(x/n)$ garde un signe constant pour $n \ge N$. La série $\sum g_n(x)$ est donc, à partir du rang $N$, une série alternée satisfaisant les hypothèses du critère spécial (CSSA). On en déduit que la série $\sum g_n(x)$ converge.
   $$\boxed{f \text{ est définie sur } \mathbb{R}}$$

2. Caractère $\mathcal{C$^1.} Chaque fonction $g_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et :
   $$g_n'(x) = \frac{(-1)^n}{n^2} \cos\left(\frac{x}{n}\right)$$
   On peut majorer la norme infinie de la dérivée sur $\mathbb{R}$ :
   $$|g_n'(x)| \le \frac{1}{n^2}$$
   On a donc $\|g_n'\|_{\infty, \mathbb{R}} \le \frac{1}{n^2}$. La série de fonctions $\sum g_n'$ converge normalement sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions :
   • $\sum g_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers $f$.
   • Chaque $g_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$.
   • $\sum g_n'$ converge uniformément (car normalement) sur $\mathbb{R}$.
   On conclut que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et :
   $$\boxed{ \forall x \in \mathbb{R}, \ f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos\left(\frac{x}{n}\right) }$$