Série trigonométrique et intégrales de Dirichlet

Résolution.

1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $|f_n(x)| \leq \frac{1}{n^2}$. Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$. Chaque fonction $f_n$ étant continue sur $\mathbb{R}$, par théorème de continuité des séries de fonctions sous l'hypothèse de convergence normale (qui implique la convergence uniforme) :
   $$\boxed{S \text{ est définie et continue sur } \mathbb{R}}$$

2. Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $f'_n(x) = -\frac{\sin(nx)}{n}$. Soit $\delta \in ]0, \pi[$. On étudie la convergence de $\sum f'_n$ sur $K = [\delta, 2\pi - \delta]$. Par la transformation d'Abel (ou le critère de Dirichlet pour les séries de fonctions), la série $\sum \frac{\sin(nx)}{n}$ converge uniformément sur tout compact de $]0, 2\pi[$. En effet, les sommes partielles de $\sum \sin(nx)$ sont uniformément bornées sur $K$ et la suite $(1/n)$ décroît vers 0. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $S$ est $\mathcal{C}^1$ sur tout compact de $]0, 2\pi[$, donc :
   $$\boxed{S \in \mathcal{C}^1(]0, 2\pi[, \mathbb{R})}$$

3. Formons le taux d'accroissement de $S$ en 0 pour $x > 0$ :
   $$\frac{S(x) - S(0)}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(nx) - 1}{n^2 x}$$
   En utilisant l'identité $1 - \cos(nx) = 2 \sin^2\left(\frac{nx}{2}\right)$, il vient :
   $$\frac{S(x) - S(0)}{x} = - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 \sin^2(nx/2)}{n^2 x} = - \frac{x}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin^2(nx/2)}{(nx/2)^2}$$
   Posons $g(t) = \frac{\sin^2(t)}{t^2}$ pour $t > 0$ et $g(0) = 1$. $g$ est continue et intégrable sur $[0, +\infty[$. La somme $h \sum_{n=1}^{+\infty} g(nh)$ avec $h = x/2$ est une somme de Riemann qui converge vers l'intégrale de $g$ quand $h \to 0^+$. Ainsi :
   $$\boxed{S'_d(0) = - \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2}   \mathrm{d}t}$$

4. D'après la question 2, pour $x \in ]0, 2\pi[$, on a $S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} -\frac{\sin(nx)}{n}$. En utilisant la formule admise :
   $$S'(x) = - \frac{\pi - x}{2} = \frac{x - \pi}{2}$$
   Par le théorème de la limite de la dérivée, $S$ étant continue en 0 et sa dérivée tendant vers $-\pi/2$ quand $x \to 0^+$, on a :
   $$S'_d(0) = -\frac{\pi}{2}$$
   On en déduit immédiatement :
   $$\boxed{I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2}   \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2}}$$
   Pour calculer $J$, effectuons une intégration par parties sur $[\epsilon, A]$ :
   $$\int_{\epsilon}^{A} \frac{\sin^2(t)}{t^2}   \mathrm{d}t = \left[ -\frac{\sin^2(t)}{t} \right]_{\epsilon}^{A} + \int_{\epsilon}^{A} \frac{2\sin(t)\cos(t)}{t}   \mathrm{d}t$$
   En passant à la limite ($\epsilon \to 0$ et $A \to +\infty$), le terme entre crochets s'annule et il reste :
   $$\frac{\pi}{2} = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(2t)}{t}   \mathrm{d}t$$
   Par le changement de variable $u = 2t$, on obtient :
   $$\boxed{J = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(u)}{u}   \mathrm{d}u = \frac{\pi}{2}}$$