Polynômes de Bernstein et approximation de Weierstrass

On se place dans un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ . Soit $V(\Omega)$ l'ensemble des variables aléatoires réelles sur $\Omega$ prenant un nombre fini de valeurs. Pour $X \in V(\Omega)$ , on note $E(X)$ son espérance et $\operatorname{Var}(X)$ sa variance.

Soit $(X_1, \dots, X_m)$ $(X_{1}, \dots, X_{m})$ une famille de variables aléatoires indépendantes de $V(\Omega)$ $V (Ω)$ .
1. Montrer que pour toute famille de polynômes $(Q_1, \dots, Q_m) \in \mathbb{R}[X]^m$ , on a : $E\left(\prod_{i=1}^m Q_i(X_i)\right) = \prod_{i=1}^m E\left(Q_i(X_i)\right)$
2. Démontrer que la variance de la somme est égale à la somme des variances : $\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^m X_i\right) = \sum_{i=1}^m \operatorname{Var}(X_i)$
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Soit $X \in V(\Omega)$ . Pour tout $\alpha > 0$ , établir l'inégalité : $P(|X - E(X)| \geqslant \alpha) \leqslant \frac{\operatorname{Var}(X)}{\alpha^2}$
Application aux polynômes de Bernstein. Soit $t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$ . On considère une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ $(X_{n})_{n \in N^{*}}$ de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Bernoulli de paramètre $t$ $t$ : $P(X_i=1)=t$ $P (X_{i} = 1) = t$ et $P(X_i=0)=1-t$ $P (X_{i} = 0) = 1 - t$ . On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ .
1. Déterminer la loi de $S_n$ .
2. Calculer $\operatorname{Var}(S_n)$ . En déduire que pour tout $\alpha > 0$ : $P\left( \left| \frac{S_n}{n} - t \right| \geqslant \alpha \right) \leqslant \frac{1}{4n\alpha^2}$
3. Pour $f \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ , on définit le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ par : $B_n(f)(t) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} t^k (1-t)^{n-k}$ Montrer que la suite de fonctions $(B_n(f))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que les variables aléatoires prennent un nombre fini de valeurs et appliquer la définition de l'indépendance.

2.

Pour l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, décomposer l'espérance définissant la variance en deux sommes selon la condition $|k - E(X)| \geqslant \alpha$ .

3.

Pour la convergence uniforme, utiliser le théorème de Heine (continuité uniforme sur un segment) et découper la somme définissant $B_n(f)(t)$ en deux parties via l'inégalité de la question 3(b).

Idées clés

•

Propriétés de l'espérance pour des variables indépendantes.

•

Inégalité de concentration (Bienaymé-Tchebychev).

•

Utilisation du théorème de Heine pour la convergence uniforme.

Résolution.

1. Soient $X_1, \dots, X_m$ des variables indépendantes. Notons $I_j$ l'ensemble fini des valeurs prises par $X_j$ . Par définition de l'indépendance, pour tout $(k_1, \dots, k_m) \in I_1 \times \dots \times I_m$ , on a : $P(X_1=k_1, \dots, X_m=k_m) = \prod_{j=1}^m P(X_j=k_j)$
  L'espérance du produit des $Q_j(X_j)$ s'écrit :
  $E\left(\prod_{j=1}^m Q_j(X_j)\right) = \sum_{k_1, \dots, k_m} \left( \prod_{j=1}^m Q_j(k_j) \right) P(X_1=k_1, \dots, X_m=k_m)$
  En utilisant l'indépendance, cette somme se factorise :
  $E\left(\prod_{j=1}^m Q_j(X_j)\right) = \sum_{k_1, \dots, k_m} \prod_{j=1}^m \left[ Q_j(k_j) P(X_j=k_j) \right] = \prod_{j=1}^m \left( \sum_{k_j \in I_j} Q_j(k_j) P(X_j=k_j) \right)$
  On reconnaît le produit des espérances :
  $\boxed{E\left(\prod_{j=1}^m Q_j(X_j)\right) = \prod_{j=1}^m E(Q_j(X_j))}$
2. Par linéarité de l'espérance, $E\left(\sum X_i\right) = \sum E(X_i)$ . Notons $Y_i = X_i - E(X_i)$ . Alors $\operatorname{Var}(\sum X_i) = E\left( (\sum Y_i)^2 \right)$ . En développant : $\operatorname{Var}\left(\sum X_i\right) = \sum_{i=1}^m E(Y_i^2) + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant m} E(Y_i Y_j)$
  Comme les $X_i$ sont indépendantes, les $Y_i$ le sont aussi. Donc $E(Y_i Y_j) = E(Y_i)E(Y_j)$ . Or $E(Y_i) = 0$ , donc les termes croisés s'annulent. Il reste :
  $\boxed{\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^m X_i\right) = \sum_{i=1}^m \operatorname{Var}(X_i)}$
Soit $X \in V(\Omega)$ et $\mu = E(X)$ . Par définition de la variance : $\operatorname{Var}(X) = \sum_{k \in X(\Omega)} (k-\mu)^2 P(X=k)$
On restreint la somme aux valeurs de $k$ telles que $|k-\mu| \geqslant \alpha$ :
$\operatorname{Var}(X) \geqslant \sum_{|k-\mu| \geqslant \alpha} (k-\mu)^2 P(X=k) \geqslant \sum_{|k-\mu| \geqslant \alpha} \alpha^2 P(X=k)$
En factorisant $\alpha^2$ , on obtient $\operatorname{Var}(X) \geqslant \alpha^2 P(|X-\mu| \geqslant \alpha)$ , d'où :
$\boxed{P(|X - E(X)| \geqslant \alpha) \leqslant \frac{\operatorname{Var}(X)}{\alpha^2}}$
1. $S_n$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $t$ . D'après le cours, $S_n$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, t)$ : $\boxed{\forall k \in \{0, \dots, n\}, P(S_n = k) = \binom{n}{k} t^k (1-t)^{n-k}}$
2. On a $\operatorname{Var}(X_i) = t(1-t)$ . Par indépendance : $\operatorname{Var}(S_n) = n t (1-t)$
  On applique Bienaymé-Tchebychev à la variable $Y_n = \frac{S_n}{n}$ . On a $E(Y_n) = t$ et $\operatorname{Var}(Y_n) = \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}(S_n) = \frac{t(1-t)}{n}$ .
  $P\left( \left| \frac{S_n}{n} - t \right| \geqslant \alpha \right) \leqslant \frac{t(1-t)}{n\alpha^2}$
  La fonction $t \mapsto t(1-t)$ est maximale en $t=1/2$ sur $[0, 1]$ , de valeur $1/4$ . Ainsi :
  $\boxed{P\left( \left| \frac{S_n}{n} - t \right| \geqslant \alpha \right) \leqslant \frac{1}{4n\alpha^2}}$
3. Remarquons d'abord que $B_n(f)(t) = E[f(\frac{S_n}{n})]$ . Comme $\sum P(S_n=k) = 1$ , on a : $f(t) = f(t) \sum_{k=0}^n P(S_n=k) = \sum_{k=0}^n f(t) P(S_n=k)$
  Considérons $|B_n(f)(t) - f(t)| \leqslant \sum_{k=0}^n |f(\frac{k}{n}) - f(t)| P(S_n=k)$ . Soit $\epsilon > 0$ . $f$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , donc d'après le théorème de Heine, elle est uniformément continue :
  $\exists \delta > 0, \forall (x, y) \in [0, 1]^2, |x-y| < \delta \implies |f(x)-f(y)| < \frac{\epsilon}{2}$
  Découpons la somme selon que $|\frac{k}{n} - t| < \delta$ ou non. Notons $A = \{k \mid |\frac{k}{n} - t| < \delta\}$ .
  $\sum_{k \in A} |f(\frac{k}{n}) - f(t)| P(S_n=k) \leqslant \frac{\epsilon}{2} \sum_{k \in A} P(S_n=k) \leqslant \frac{\epsilon}{2}$
  Pour $k \notin A$ , on majore $|f(\frac{k}{n}) - f(t)|$ par $2\|f\|_\infty$ :
  $\sum_{k \notin A} |f(\frac{k}{n}) - f(t)| P(S_n=k) \leqslant 2\|f\|_\infty P\left( \left| \frac{S_n}{n} - t \right| \geqslant \delta \right) \leqslant 2\|f\|_\infty \frac{1}{4n\delta^2}$
  Pour $n$ assez grand tel que $\frac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2} < \frac{\epsilon}{2}$ , l'écart total est inférieur à $\epsilon$ indépendamment de $t$ .
  $\boxed{\text{La suite } (B_n(f)) \text{ converge uniformément vers } f \text{ sur } [0, 1]}$

Oublier de diviser par n^2 lors du calcul de la variance de la moyenne d'échantillon.

Les polynômes de Bernstein permettent de démontrer de façon constructive le théorème d'approximation de Weierstrass.