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Somme d'une série entière à coefficients sinus

série entièresinuslogarithme complexearctangenteComplexificationDéveloppement en série entière

Soient t∈Rt \in \mathbb{R} un paramètre réel et x∈]−1,1[x \in ]-1, 1[.

Déterminer la valeur de la somme de la série entière suivante :

ft(x)=∑n=1+∞sin⁡(nt)nxnf_{t}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin (n t)}{n} x^{n}

1.

Utiliser la forme exponentielle du sinus pour transformer la série en une partie imaginaire d'une série entière complexe.

2.

Identifier le développement en série entière de la fonction z↦ln⁡(1−z)z \mapsto \ln(1-z) pour ∣z∣<1|z| < 1.

3.

Exprimer l'argument du nombre complexe 1−xeit1 - xe^{it} à l'aide de la fonction arctan⁡\arctan.

Idées clés

•

Passage au complexe : sin⁡(nt)=Im(eint)\sin(nt) = \text{Im}(e^{int}).

•

Rayon de convergence et sommation de ∑znn\sum \frac{z^n}{n}.

•

Formule de l'argument pour un complexe de partie réelle strictement positive.

Résolution.

Considérons, pour x∈]−1,1[x \in ]-1, 1[ et t∈Rt \in \mathbb{R}, le nombre complexe z=xeitz = xe^{it}.

Comme ∣z∣=∣x∣<1|z| = |x| < 1, nous savons que la série entière ∑n≥1znn\sum_{n \ge 1} \frac{z^n}{n} converge absolument.

D'après le cours sur les séries entières complexes, on a :

∑n=1+∞znn=−ln⁡(1−z)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^{n}}{n} = -\ln(1 - z)

Où ln⁡\ln désigne ici la détermination principale de l'argument (puisque Re(1−z)>0\text{Re}(1-z) > 0).

Par linéarité de la partie imaginaire sur les séries convergentes, nous pouvons écrire :

ft(x)=∑n=1+∞Im((xeit)nn)=Im(∑n=1+∞(xeit)nn)f_{t}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \text{Im} \left( \frac{(xe^{it})^n}{n} \right) = \text{Im} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(xe^{it})^n}{n} \right)

En remplaçant par l'expression logarithmique, il vient :

ft(x)=Im(−ln⁡(1−xeit))f_{t}(x) = \text{Im} \left( -\ln(1 - xe^{it}) \right)

Décomposons le nombre complexe 1−xeit1 - xe^{it} sous forme algébrique :

1−xeit=1−x(cos⁡t+isin⁡t)=(1−xcos⁡t)−i(xsin⁡t)1 - xe^{it} = 1 - x(\cos t + i\sin t) = (1 - x\cos t) - i(x\sin t)

Soit w=1−xeitw = 1 - xe^{it}. Pour tout x∈]−1,1[x \in ]-1, 1[, on a ∣xcos⁡t∣≤∣x∣<1|x\cos t| \le |x| < 1, donc :

Re(w)=1−xcos⁡t>0\text{Re}(w) = 1 - x\cos t > 0

Pour un nombre complexe ww de partie réelle strictement positive, on sait que Im(ln⁡w)=arg⁡(w)=arctan⁡(Im(w)Re(w))\text{Im}(\ln w) = \arg(w) = \arctan\left( \frac{\text{Im}(w)}{\text{Re}(w)} \right).

On en déduit :

Im(ln⁡(1−xeit))=arctan⁡(−xsin⁡t1−xcos⁡t)\text{Im}(\ln(1 - xe^{it})) = \arctan\left( \frac{-x\sin t}{1 - x\cos t} \right)

Comme la fonction arctan⁡\arctan est impaire, on conclut finalement :

ft(x)=−(arctan⁡(−xsin⁡t1−xcos⁡t))=arctan⁡(xsin⁡t1−xcos⁡t)f_t(x) = - \left( \arctan\left( \frac{-x\sin t}{1 - x\cos t} \right) \right) = \arctan\left( \frac{x\sin t}{1 - x\cos t} \right)

Le résultat final est donc :

ft(x)=arctan⁡(xsin⁡t1−xcos⁡t)\boxed{f_{t}(x) = \arctan\left( \frac{x \sin t}{1 - x \cos t} \right)}

Vérification de la condition sur la partie réelle pour l'utilisation de l'arctangente.

Utilisation de la forme exponentielle pour sommer des séries trigonométriques.