Régularité d'une série de fonctions gaussiennes

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par la relation :

f(x, y) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}} \exp \left(-n\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)

Démontrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'ensemble $\mathbb{R}^{2}$ .

1.

Commencer par justifier la définition de $f$ en montrant la convergence normale de la série sur $\mathbb{R}^2$ .

2.

Pour la classe $\mathcal{C}^1$ , calculer les dérivées partielles formelles et étudier leur convergence.

3.

Pour majorer les dérivées partielles, on pourra effectuer une étude de fonction de la forme $t \mapsto t e^{-nt^2}$ afin de trouver son maximum sur $\mathbb{R}$ .

Idées clés

•

Théorème de régularité $\mathcal{C}^1$ pour les séries de fonctions.

•

Convergence normale pour s'affranchir de la restriction à des compacts.

•

Optimisation d'une fonction d'une variable pour obtenir une borne uniforme.

1. Convergence simple et continuité.

Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ :

u_n(x, y) = \frac{1}{n^2} e^{-n(x^2+y^2)}

Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ , on a $x^2 + y^2 \geq 0$ , d'où $e^{-n(x^2+y^2)} \leq 1$ . On en déduit la majoration suivante :

\forall n \in \mathbb{N}^*,   \|u_n\|_{\infty, \mathbb{R}^2} \leq \frac{1}{n^2}

Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement, et donc uniformément, sur $\mathbb{R}^2$ .

Chaque fonction $u_n$ étant continue sur $\mathbb{R}^2$ , on en conclut que :

\boxed{ f \text{ est définie et continue sur } \mathbb{R}^2 }

2. Existence et continuité des dérivées partielles.

Les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ . Calculons la dérivée partielle de $u_n$ par rapport à $x$ :

\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,   \frac{\partial u_n}{\partial x}(x, y) = \frac{1}{n^2} \cdot (-2nx) \cdot e^{-n(x^2+y^2)} = -\frac{2x}{n} e^{-n(x^2+y^2)}

Pour montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ , il suffit de prouver la convergence normale de la série des dérivées partielles sur $\mathbb{R}^2$ . Étudions la fonction $g_n : t \mapsto t e^{-nt^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

La fonction $g_n$ est impaire, dérivable, et sa dérivée est $g_n'(t) = (1 - 2nt^2) e^{-nt^2}$ . Elle admet un maximum sur $\mathbb{R}^+$ au point $t_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$ , de valeur :

g_n(t_n) = \frac{1}{\sqrt{2n}} e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2ne}}

En remarquant que $\left| \frac{\partial u_n}{\partial x}(x, y) \right| = \frac{2}{n} |x| e^{-nx^2} e^{-ny^2} \leq \frac{2}{n} |x| e^{-nx^2}$ , on obtient :

\left\| \frac{\partial u_n}{\partial x} \right\|_{\infty, \mathbb{R}^2} \leq \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2ne}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e} \cdot n^{3/2}}

3. Conclusion.

Comme $3/2 > 1$ , la série $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge. Ainsi, la série $\sum \frac{\partial u_n}{\partial x}$ converge normalement sur $\mathbb{R}^2$ .

Par symétrie des rôles de $x$ et $y$ , il en est de même pour $\sum \frac{\partial u_n}{\partial y}$ .

\boxed{ \sum \frac{\partial u_n}{\partial x} \text{ et } \sum \frac{\partial u_n}{\partial y} \text{ convergent normalement sur } \mathbb{R}^2 }

D'après le théorème de dérivation sous le signe somme pour les séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ et ses dérivées partielles s'obtiennent par dérivation terme à terme.

\boxed{ f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}) }

Vérifier la convergence normale sur l'espace entier plutôt que sur des compacts.

Utiliser l'étude de fonction pour majorer le terme général d'une série de dérivées.