Régularité d'une série de fonctions rationnelles

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit la fonction $f_n$ par :

f_n(x) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}

On considère la série de fonctions $\sum f_n$ .

Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction $S : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ .
Démontrer que la fonction $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ensemble $D$ .
Calculer explicitement la valeur de $S(1)$ .

1.

Pour la convergence simple, effectuer un développement asymptotique du terme général $f_n(x)$ lorsque $n \to +\infty$ .

2.

Pour la classe $\mathcal{C}^1$ , utiliser le théorème de dérivation terme à terme en montrant la convergence normale de la série des dérivées sur tout segment inclus dans $D$ .

3.

Pour le calcul de $S(1)$ , identifier une somme télescopique.

Idées clés

•

Étude du domaine de définition via les équivalents.

•

Théorème de régularité $\mathcal{C}^1$ (convergence simple de la série et convergence uniforme/normale de la série des dérivées).

•

Sommation télescopique pour les valeurs entières.

Résolution.

Détermination du domaine de définition.
Pour que $f_n(x)$ soit défini pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , il faut que $n+x \neq 0$ , donc $x \notin \{-1, -2, \dots\}$ . L'ensemble des valeurs interdites est $\mathbb{Z}_-^* = \{-n \mid n \in \mathbb{N}^*\}$ . Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}_-^*$ . On peut écrire :
$f_n(x) = \frac{n + x - n}{n(n + x)} = \frac{x}{n(n + x)}$
Si $x = 0$ , la série est nulle et converge. Si $x \neq 0$ , au voisinage de $+\infty$ , on a l'équivalent :
$f_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{x}{n^2}$
Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par comparaison de séries à termes de signe constant (pour $n$ assez grand), la série $\sum f_n(x)$ converge absolument.

$\boxed{ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, -2, -3, \dots\} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}_-^* }$
Étude de la régularité de $S$ .
Soit $[a, b]$ un segment inclus dans $D$ . Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ et :
$\forall x \in D, f_n'(x) = \frac{1}{(n + x)^2}$
Pour montrer que $S$ est $\mathcal{C}^1$ , nous allons prouver la convergence normale de $\sum f_n'$ sur tout segment $[a, b] \subset D$ . Soit $[a, b] \subset D$ . Puisque $x \mapsto \frac{1}{(n+x)^2}$ est continue sur le segment, elle y est bornée. Pour $n$ suffisamment grand (tel que $n+a > 0$ ), la fonction $x \mapsto (n+x)^2$ est croissante sur $[a, b]$ si $a > -n$ . Ainsi, pour $n > -a$ :
$\sup_{x \in [a, b]} |f_n'(x)| = \sup_{x \in [a, b]} \frac{1}{(n + x)^2} = \frac{1}{(n + \min(a, b))^2}$ (On adapte selon le signe de $n+x$ pour prendre la valeur qui minimise le dénominateur en valeur absolue).
Dans tous les cas, pour $n$ assez grand, on a :
$\|f_n'\|_\infty^{[a, b]} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{n^2}$
La série $\sum \|f_n'\|_\infty^{[a, b]}$ converge, donc la série $\sum f_n'$ converge normalement (et donc uniformément) sur tout segment de $D$ . Comme la série $\sum f_n$ converge simplement sur $D$ et que chaque $f_n$ est $\mathcal{C}^1$ , le théorème de dérivation terme à terme s'applique. $S$ est donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ et :
$\boxed{ \forall x \in D, S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n + x)^2} }$
Calcul de $S(1)$ .
On évalue la somme partielle pour $x=1$ :
$S_N(1) = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$
Par télescopage, on obtient :
$S_N(1) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N + 1} \right) = 1 - \frac{1}{N + 1}$
En passant à la limite quand $N \to +\infty$ :
$\boxed{ S(1) = 1 }$

Oublier de restreindre l'étude aux segments pour la convergence normale.

Le caractère C1 s'obtient par convergence normale de la série des dérivées sur tout segment.