DSE d'une fonction définie par une intégrale

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x < 1$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a $0 \le \sin^2(t) \le 1$. Si $x \le 0$, alors $1 - x\sin^2(t) \ge 1$. Si $0 < x < 1$, alors $1 - x\sin^2(t) \ge 1 - x > 0$. Dans les deux cas, le dénominateur ne s'annule pas et est minoré par une constante strictement positive $m_x = \min(1, 1-x)$. Ainsi, la fonction $t \mapsto \frac{e^{-t}}{1 - x\sin^2(t)}$ est continue sur $[0, +\infty[$. De plus, par minoration du dénominateur :
   $$0 \le \frac{e^{-t}}{1 - x\sin^2(t)} \le \frac{1}{m_x} e^{-t}$$
   Comme $t \mapsto e^{-t}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$, par comparaison, l'intégrale converge.
   $$\boxed{ D_f = ]-\infty, 1[ }$$

2. Développement en série entière. Soit $x \in ]-1, 1[$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $|x\sin^2(t)| \le |x| < 1$. On peut donc utiliser le développement en série géométrique :
   $$\frac{1}{1 - x\sin^2(t)} = \sum_{n=0}^{+\infty} (x\sin^2(t))^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \sin^{2n}(t) x^n$$
   Posons $u_n(t) = e^{-t} \sin^{2n}(t) x^n$. Les fonctions $u_n$ sont continues et intégrables sur $[0, +\infty[$. Vérifions la condition de convergence normale pour l'interversion (ou la convergence dominée des sommes partielles). On a $|u_n(t)| \le |x|^n e^{-t}$. En intégrant :
   $$\int_0^{+\infty} |u_n(t)| \mathrm{d}t \le |x|^n \int_0^{+\infty} e^{-t} \mathrm{d}t = |x|^n$$
   La série $\sum |x|^n$ converge car $|x| < 1$. Par le théorème d'interversion pour les séries de fonctions intégrables :
   $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \int_0^{+\infty} e^{-t} \sin^{2n}(t) \mathrm{d}t \right) x^n$$
   $$\boxed{ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n   \text{avec}   a_n = \int_0^{+\infty} e^{-t} \sin^{2n}(t) \mathrm{d}t }$$

3. Calcul des coefficients. Soit $n \ge 1$. Calculons $a_n = \int_0^{+\infty} e^{-t} \sin^{2n}(t) \mathrm{d}t$. Par une première intégration par parties ($u = \sin^{2n}(t)$, $v' = e^{-t}$) :
   $$a_n = \left[ -e^{-t} \sin^{2n}(t) \right]_0^{+\infty} + 2n \int_0^{+\infty} e^{-t} \sin^{2n-1}(t) \cos(t) \mathrm{d}t$$
   Le terme entre crochets est nul. On effectue une seconde intégration par parties sur la nouvelle intégrale. Soit $w = \sin^{2n-1}(t) \cos(t)$ et $z' = e^{-t}$ :
   $$a_n = 2n \left( \left[ -e^{-t} \sin^{2n-1}(t) \cos(t) \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\sin^{2n-1}(t) \cos(t)) \mathrm{d}t \right)$$
   Le crochet est encore nul. Dérivons le produit :
   $$(\sin^{2n-1}(t) \cos(t))' = (2n-1) \sin^{2n-2}(t) \cos^2(t) - \sin^{2n}(t)$$
   En utilisant $\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)$, on obtient :
   $$(2n-1) \sin^{2n-2}(t) (1 - \sin^2(t)) - \sin^{2n}(t) = (2n-1) \sin^{2n-2}(t) - 2n \sin^{2n}(t)$$
   On injecte dans l'expression de $a_n$ :
   $$a_n = 2n \left( (2n-1) a_{n-1} - 2n a_n \right)$$
   D'où $a_n(1 + 4n^2) = 2n(2n-1) a_{n-1}$, soit :
   $$a_n = \frac{2n(2n-1)}{4n^2 + 1} a_{n-1}$$
   Comme $a_0 = \int_0^{+\infty} e^{-t} \mathrm{d}t = 1$, on en déduit par récurrence :
   $$\boxed{ a_n = \frac{(2n)!}{\prod_{k=1}^n (4k^2 + 1)} }$$