Théorème de Borel et prolongement lisse

Résolution.

1. Analyse des premiers cas
   1. Si $a_n = (1/2)^n$, la fonction $f(x) = e^{x/2}$ convient car $f^{(n)}(0) = (1/2)^n e^{0/2} = 1/2^n$.

   2. Si $a_n = 1/n!$, on cherche $f$ telle que $f^{(n)}(0) = 1/n!$. La fonction $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n!)^2}$ est une fonction entière (rayon de convergence infini) qui répond à la question.

   3. Si $a_n = n!$, la série entière associée est $\sum \frac{n!}{n!} x^n = \sum x^n$, de rayon de convergence 1. Elle ne définit pas une fonction sur $\mathbb{R}$ tout entier. Si $a_n = (n!)^2$, la série $\sum \frac{(n!)^2}{n!} x^n = \sum n! x^n$ a un rayon de convergence nul.
      $$\boxed{\text{Une fonction analytique ne suffit pas toujours pour prescrire n'importe quelle suite de dérivées.}}$$

2. Fonction plateau
   1. La fonction $g$ est trivialement $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^*$. En 0, on montre par récurrence que $g^{(k)}(x) = P_k(1/x) e^{-1/x^2}$ pour $x>0$ où $P_k$ est un polynôme. Par croissance comparée, $\lim_{x \to 0^+} g^{(k)}(x) = 0$. Le théorème de prolongement de la dérivée assure que $g \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

   2. On pose $h(x) = \frac{g(x-1)}{g(x-1) + g(2-x)}$. Cette fonction vaut 0 pour $x \leqslant 1$ et 1 pour $x \geqslant 2$. En posant $\varphi(x) = 1 - h(|x|)$, on obtient une fonction $\mathcal{C}^\infty$ valant 1 sur $[-1,1]$ et 0 hors de $]-2, 2[$.
      $$\boxed{\varphi \in \mathcal{C}_c^\infty(\mathbb{R}) \text{ avec } \varphi_{|[-1,1]} = 1}$$

3. Preuve de Borel
   1. Soit $h_n(x) = \frac{a_n}{n!} x^n \varphi(x)$. Comme $\varphi$ est à support compact, $h_n$ et toutes ses dérivées sont bornées sur $\mathbb{R}$. On a $u_n(x) = h_n(\lambda x) \cdot \lambda^{-n}$. Par la formule de dérivation d'une composée :
      $$u_n^{(k)}(x) = \lambda^k h_n^{(k)}(\lambda x) \lambda^{-n} = \lambda^{k-n} h_n^{(k)}(\lambda x)$$
      Pour $k < n$, l'exposant $k-n$ est strictement négatif. Comme $h_n^{(k)}$ est bornée :
      $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |u_n^{(k)}(x)| \leqslant \lambda^{k-n} \|h_n^{(k)}\|_\infty \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{} 0$$
      $$\boxed{\forall k < n, \lim_{\lambda \to +\infty} \|u_n^{(k)}\|_\infty = 0}$$

   2. Pour chaque $n$, on choisit $\lambda_n \geqslant 1$ tel que pour tout $k \in \{0, \dots, n-1\}$, $\|u_n^{(k)}\|_\infty \leqslant \frac{1}{2^n}$. Considérons la série de fonctions $\sum u_n$. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, la série des dérivées $\sum u_n^{(k)}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ car :
      $$\sum_{n=k+1}^{+\infty} \|u_n^{(k)}\|_\infty \leqslant \sum_{n=k+1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} < +\infty$$
      Les premiers termes (pour $n \leqslant k$) sont des fonctions $\mathcal{C}^\infty$. Ainsi $f = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. En $x=0$, comme $\varphi$ vaut 1 au voisinage de 0, $\varphi(\lambda_n x) = 1$ et ses dérivées sont nulles. On a $u_n^{(k)}(0) = a_n \delta_{n,k}$. Par sommation, $f^{(k)}(0) = a_k$.

4. Prolongement On utilise Borel pour construire $\psi_1 \in \mathcal{C}^\infty$ telle que $\psi_1^{(n)}(a) = g_1^{(n)}(a)$ et $\psi_2 \in \mathcal{C}^\infty$ telle que $\psi_2^{(n)}(b) = g_2^{(n)}(b)$. On définit $h$ par morceaux : $g_1$ sur $]-\infty, a]$, $g_2$ sur $[b, +\infty[$, et entre $a$ et $b$, on utilise une interpolation $\mathcal{C}^\infty$ (via des fonctions plateaux) raccordant les dérivées de $\psi_1$ en $a$ et $\psi_2$ en $b$.