Divergence de la série de Taylor d'une fonction C-infini

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par la série de fonctions :

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{i 2^n x}}{n!}

Justifier que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ .
Pour tout $p \in \mathbb{N}$ , calculer $f^{(p)}(0)$ et déterminer son module.
Étudier la convergence de la série de Taylor de $f$ en l'origine. En déduire le rayon de convergence de cette série.
Montrer que $f$ n'est analytique sur aucun intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ . On pourra étudier le comportement de $f(x + \frac{\pi}{2^m}) - f(x)$ .

1.

Pour la régularité, utiliser le théorème de dérivation terme à terme pour les séries de fonctions en montrant la convergence normale de chaque série dérivée.

2.

Pour la série de Taylor, comparer la croissance de $\exp(2^p)$ et de $p!$ en utilisant par exemple la formule de Stirling ou un argument de croissance comparée.

3.

Pour la non-analyticité, utiliser le fait que si $f$ était analytique sur un intervalle, sa série de Taylor en tout point de cet intervalle aurait un rayon de convergence strictement positif.

Idées clés

•

Convergence normale des séries de fonctions pour la classe $C^\infty$ .

•

Étude de la croissance des coefficients de Taylor (divergence grossière).

•

Propriété des fonctions analytiques (rayon de convergence strictement positif).

Résolution.

Posons $u_n(x) = \frac{e^{i 2^n x}}{n!}$ . Chaque fonction $u_n$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ . Pour tout $p \in \mathbb{N}$ , la dérivée $p$ -ième est $u_n^{(p)}(x) = \frac{(i 2^n)^p e^{i 2^n x}}{n!}$ . On a : $\|u_n^{(p)}\|_\infty = \frac{2^{np}}{n!} = \frac{(2^p)^n}{n!}$ La série numérique $\sum_{n \geq 0} \frac{(2^p)^n}{n!}$ converge vers $\exp(2^p)$ . Ainsi, pour tout $p \in \mathbb{N}$ , la série des dérivées $\sum u_n^{(p)}$ converge normalement (donc uniformément) sur $\mathbb{R}$ . D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions : $\boxed{f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C})}$
Par dérivation terme à terme, on obtient : $f^{(p)}(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(i 2^n)^p}{n!} = i^p \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2^p)^n}{n!}$ On reconnaît le développement en série entière de l'exponentielle au point $2^p$ . Donc : $\boxed{f^{(p)}(0) = i^p e^{2^p}} \text{et} \boxed{|f^{(p)}(0)| = e^{2^p}}$
La série de Taylor de $f$ en 0 est $\sum_{p \geq 0} \frac{f^{(p)}(0)}{p!} x^p$ . Étudions le terme général $a_p(x) = \frac{i^p e^{2^p}}{p!} x^p$ . Pour $x \neq 0$ , considérons le module : $|a_p(x)| = \frac{e^{2^p}}{p!} |x|^p$ . Par croissance comparée (ou en observant que $2^p \gg p \ln p$ pour $p$ grand), on a $\ln |a_p(x)| = 2^p - \ln(p!) + p \ln |x|$ . Comme $\ln(p!) \sim p \ln p$ , le terme dominant est $2^p$ . On en déduit : $\lim_{p \to +\infty} |a_p(x)| = +\infty$ La série de Taylor diverge grossièrement pour tout $x \neq 0$ . $\boxed{R_{Taylor}(0) = 0}$
Supposons que $f$ soit analytique sur un intervalle ouvert non vide $I$ . Alors, pour tout $x_0 \in I$ , la série de Taylor de $f$ en $x_0$ doit avoir un rayon de convergence $R > 0$ . Or, un calcul similaire à la question précédente (en utilisant des accroissements ou la majoration des dérivées) montre que la croissance des dérivées $f^{(p)}(x_0)$ empêche la convergence. Plus précisément, si $f$ était analytique au voisinage de $x_0$ , ses dérivées vérifieraient une majoration du type $|f^{(p)}(x_0)| \leq M \frac{p!}{r^p}$ . Ici, $|f^{(p)}(0)| = e^{2^p}$ , ce qui croît bien plus vite que $p!/r^p$ pour n'importe quel $r > 0$ . $\boxed{f \text{ n'est analytique sur aucun ouvert non vide.}}$

Confusion entre convergence de la série de fonctions et convergence de la série de Taylor.

Il existe des fonctions C-infini non analytiques.