Existence d'une fonction nulle part analytique

Soit $(\lambda_k)_{k \geq 1}$ une suite de réels strictement positifs. On définit, sous réserve de convergence, la fonction $f$ par :

\forall x \in \mathbb{R},   f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \lambda_k^{1-k} e^{i \lambda_k x}

On suppose que $\lambda_k \geq 2$ pour tout $k$ . Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $(\mu_p)_{p \geq 0}$ une suite de réels strictement positifs. Montrer que l'on peut construire la suite $(\lambda_k)$ par récurrence de telle sorte que : $\forall p \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, |f^{(p)}(x)| \geq \mu_p$
En déduire l'existence d'une fonction $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ telle qu'en tout point $x \in \mathbb{R}$ , le rayon de convergence de sa série de Taylor soit nul.

1.

Pour la question 2, on pourra isoler le $n$ -ième terme dans la somme des dérivées : $f^{(p)}(x) = (i\lambda_n)^p \lambda_n^{1-n} e^{i \lambda_n x} + \sum_{k \neq n} \dots$ . L'idée est de choisir $\lambda_n$ suffisamment grand pour que ce terme domine tous les autres.

2.

Pour le rayon de convergence, utiliser le fait que si $R > 0$ , alors les dérivées doivent satisfaire une majoration de type Cauchy : $|f^{(p)}(x)| \leq M \frac{p!}{r^p}$ .

Idées clés

•

Domination d'un terme dans une série (stratégie du "terme prépondérant").

•

Lien entre croissance des dérivées et rayon de convergence (critère de Cauchy).

Résolution.

Pour tout $p \in \mathbb{N}$ , le terme général de la série dérivée $p$ -ième est $u_k^{(p)}(x) = (i \lambda_k)^p \lambda_k^{1-k} e^{i \lambda_k x}$ . On a $\|u_k^{(p)}\|_\infty = \lambda_k^{p-k+1}$ . Comme $\lambda_k \geq 2$ , pour $k \geq p+2$ , on a $\lambda_k^{p-k+1} \leq 2^{p-k+1}$ . La série $\sum \lambda_k^{p-k+1}$ converge donc pour tout $p$ . Par le théorème de dérivation terme à terme, $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ .
Fixons $p$ et isolons le terme $k=p+1$ dans l'expression de $f^{(p)}(x)$ : $f^{(p)}(x) = i^p \lambda_{p+1}^{1-(p+1)+p} e^{i \lambda_{p+1} x} + \sum_{k \neq p+1} (i \lambda_k)^p \lambda_k^{1-k} e^{i \lambda_k x}$ $f^{(p)}(x) = i^p \lambda_{p+1} e^{i \lambda_{p+1} x} + \sum_{k < p+1} i^p \lambda_k^{p-k+1} e^{i \lambda_k x} + \sum_{k > p+1} i^p \lambda_k^{p-k+1} e^{i \lambda_k x}$ Par l'inégalité triangulaire inverse $|a+b| \geq |a| - |b|$ : $|f^{(p)}(x)| \geq \lambda_{p+1} - \sum_{k=1}^p \lambda_k^{p-k+1} - \sum_{k=p+2}^{+\infty} \lambda_k^{p-k+1}$ Si l'on impose $\lambda_k \geq 2$ , la dernière somme est majorée par $\sum_{j=1}^{\infty} \lambda_{p+1+j}^{-j} \leq \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j} = 1$ . On peut alors choisir $\lambda_{p+1}$ par récurrence tel que : $\lambda_{p+1} \geq \mu_p + 1 + \sum_{k=1}^p \lambda_k^{p-k+1}$ Avec ce choix, on garantit $\boxed{|f^{(p)}(x)| \geq \mu_p}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
Soit $x \in \mathbb{R}$ . Si la série de Taylor de $f$ en $x$ avait un rayon de convergence $R > 0$ , il existerait $r \in ]0, R[$ tel que la suite $(\frac{f^{(p)}(x)}{p!} r^p)_{p \geq 0}$ soit bornée par une constante $M$ . Cela impliquerait $|f^{(p)}(x)| \leq M \frac{p!}{r^p}$ pour tout $p \in \mathbb{N}$ . Or, on peut choisir la suite $(\mu_p)$ telle que $\mu_p$ croisse beaucoup plus vite que $p!/r^p$ pour n'importe quel $r$ (par exemple $\mu_p = (p!)^2$ ou $\mu_p = e^{p^2}$ ). En choisissant une telle suite $(\mu_p)$ pour construire $f$ , on assure que pour tout $r > 0$ , la condition de Cauchy n'est jamais vérifiée. $\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, R_{Taylor}(x) = 0}$

Assurer la convergence de la série tout en imposant une croissance forte aux dérivées.

Une fonction C-infini peut avoir un rayon de Taylor nul en tout point de R.