Propriétés d'une série de fractions rationnelles

Résolution.

1. Détermination du domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour que chaque terme de la série soit défini, on doit avoir $x+k \neq 0$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, soit $x \notin \{-1, -2, -3, \dots\}$. Supposons cette condition vérifiée. Analysons le terme général $u_k(x) = \frac{1}{k} - \frac{1}{x+k}$. En réduisant au même dénominateur :
   $$u_k(x) = \frac{x+k-k}{k(x+k)} = \frac{x}{k(x+k)}$$
   Pour $x \neq 0$, nous avons l'équivalent suivant quand $k \to +\infty$ :
   $$u_k(x) \sim \frac{x}{k^2}$$
   La série $\sum \frac{1}{k^2}$ est une série de Riemann convergente. Par comparaison de séries à termes de signe constant (à partir d'un certain rang), la série $\sum u_k(x)$ converge. Si $x = 0$, $u_k(0) = 0$ pour tout $k$, donc la série converge. L'ensemble de définition de $f$ est donc :
   $$\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-k \mid k \in \mathbb{N}^* \}}$$

2. Régularité et monotonie.
   1. Posons $u_k(x) = \frac{1}{k} - (x+k)^{-1}$. Les fonctions $u_k$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $D$. Pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, la dérivée $p$-ième est :
      $$u_k^{(p)}(x) = - \frac{(-1)(-2)\dots(-p)}{(x+k)^{p+1}} = \frac{(-1)^{p+1} p!}{(x+k)^{p+1}}$$
      Soit $[a, b]$ un segment inclus dans $D$. Il existe $M > 0$ tel que pour tout $k$ suffisamment grand et tout $x \in [a, b]$, $|x+k| \geq k - \max(|a|, |b|)$. On en déduit la majoration pour $k$ assez grand :
      $$\sup_{x \in [a, b]} |u_k^{(p)}(x)| \leq \frac{p!}{(k - \max(|a|, |b|))^{p+1}}$$
      Comme $p \geq 1$, $p+1 \geq 2$. La série des normes infinies $\sum \|u_k^{(p)}\|_\infty$ converge par comparaison avec une série de Riemann. La série $\sum u_k^{(p)}$ converge donc normalement (donc uniformément) sur tout segment de $D$. \boxed{f \text{ est de classe } \mathcal{C}^\infty \text{ sur } D}

   2. Pour $x \in ]-1, +\infty[$, nous pouvons calculer $f'(x)$ par dérivation terme à terme :
      $$f'(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(x+k)^2}$$
      Chaque terme $\frac{1}{(x+k)^2}$ est strictement positif pour $x > -1$. \boxed{f \text{ est strictement croissante sur } ]-1, +\infty[}

3. Étude asymptotique.
   1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Calculons la somme partielle d'ordre $N > n$ :
      $$S_N = \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{n+k} \right) = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} - \sum_{j=n+1}^{n+N} \frac{1}{j}$$
      Par décalage d'indice et simplification des termes communs :
      $$S_N = \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{N} \frac{1}{k} \right) - \left( \sum_{j=n+1}^{N} \frac{1}{j} + \sum_{j=N+1}^{n+N} \frac{1}{j} \right)$$
      D'où :
      $$S_N = H_n - \sum_{j=N+1}^{n+N} \frac{1}{j}$$
      Quand $N \to +\infty$, la somme finie $\sum_{j=N+1}^{n+N} \frac{1}{j}$ comporte $n$ termes qui tendent tous vers $0$. Ainsi :
      $$\boxed{f(n) = H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}$$

   2. On sait que $H_n \sim \ln n$ quand $n \to +\infty$. Pour $x > 1$, posons $n = \lfloor x \rfloor$. On a $n \leq x < n+1$. Par croissance de $f$ sur $]-1, +\infty[$ :
      $$f(n) \leq f(x) \leq f(n+1)$$
      $$H_n \leq f(x) \leq H_{n+1}$$
      On a d'une part $H_n \sim \ln n \sim \ln x$ (car $n \sim x$ et $x \to +\infty$). D'autre part $H_{n+1} \sim \ln(n+1) \sim \ln x$. Par le théorème des gendarmes, on conclut :
      $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \ln x}$$