Série de fonctions trigonométriques et analyticité

Résolution.

1. Posons $u_n(x) = \sin(a^n x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$. Chaque fonction $u_n$ est de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, la dérivée $k$-ième de $u_n$ est :
   $$u_n^{(k)}(x) = a^{nk} \sin\left(a^n x + \frac{k\pi}{2}\right)$$
   On peut alors majorer la norme infinie de $u_n^{(k)}$ sur $\mathbb{R}$ :
   $$\|u_n^{(k)}\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |a^{nk} \sin\left(a^n x + \frac{k\pi}{2}\right)| = |a|^{nk}$$
   Puisque $|a| < 1$, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, la série géométrique $\sum (|a|^k)^n$ converge car $|a|^k < 1$. La série de fonctions $\sum u_n^{(k)}$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $\mathbb{R}$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$. Comme de plus la série $\sum u_n$ converge simplement (par exemple car $|u_n(x)| \leqslant |a|^n |x|$), le théorème de dérivation des séries de fonctions s'applique à tout ordre.
   $$\boxed{f \in \mathscr{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})}$$

2. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. En dérivant terme à terme la série, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
   $$f^{(k)}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^{nk} \sin\left(a^n x + \frac{k\pi}{2}\right)$$
   En utilisant l'inégalité triangulaire :
   $$|f^{(k)}(x)| \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} |a|^{nk}$$
   Puisque $k \geqslant 1$ et $|a| < 1$, on a $|a|^k \leqslant |a|$. On en déduit :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} (|a|^k)^n \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} |a|^n$$
   En reconnaissant la somme d'une série géométrique :
   $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, \ |f^{(k)}(x)| \leqslant \frac{1}{1 - |a|}}$$

3. Pour montrer que $f$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$, utilisons la formule de Taylor avec reste intégral entre $0$ et $x$ :
   $$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n(x)   \text{où}   R_n(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)   dt$$
   D'après la question précédente, $|f^{(n+1)}(t)| \leqslant M$ avec $M = \frac{1}{1-|a|}$. Supposons $x \geqslant 0$. Par croissance de l'intégrale :
   $$|R_n(x)| \leqslant M \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!}   dt = M \left[ -\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} \right]_0^x = M \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$
   Le même raisonnement pour $x < 0$ donne $|R_n(x)| \leqslant M \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ fixé, par croissance comparée :
   $$\lim_{n \to +\infty} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = 0$$
   Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} R_n(x) = 0$. La série de Taylor de $f$ en $0$ converge donc vers $f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
   $$\boxed{f \text{ est développable en série entière sur } \mathbb{R}}$$