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Approximation par des polynômes à coefficients entiers

BernsteinPolynômesCoefficients entiersConvergence uniformeBernsteinPartie entière

Soit f:[0,1]→Rf : [0,1] \to \mathbb{R} une application. On cherche à déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que ff soit la limite uniforme sur [0,1][0,1] d'une suite de polynômes appartenant à Z[X]\mathbb{Z}[X].

  1. Établir des conditions nécessaires sur ff portant sur sa continuité et ses valeurs aux bornes du segment.
  2. On suppose ces conditions remplies. En utilisant une modification des polynômes de Bernstein, démontrer que ces conditions sont suffisantes.

1.

Pour la condition nécessaire, utiliser le fait que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue, et qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire.

2.

Pour la suffisance, on pourra considérer Bn(f)(t)=∑k=0n(nk)f(kn)tk(1−t)n−kB_n(f)(t) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f\left(\frac{k}{n}\right) t^k(1-t)^{n-k} et approcher ses coefficients par des entiers.

3.

Étudier la convergence uniforme vers 00 de la suite de fonctions Un(t)=∑k=1n−1tk(1−t)n−kU_n(t) = \sum_{k=1}^{n-1} t^k(1-t)^{n-k} sur [0,1][0,1].

Idées clés

•

Convergence uniforme et continuité.

•

Propriété de stabilité des suites d'entiers : une suite convergente dans Z\mathbb{Z} est stationnaire.

•

Polynômes de Bernstein et approximation uniforme des fonctions continues.

1. Analyse des conditions nécessaires.

Soit (Pn)n∈N(P_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite de polynômes de Z[X]\mathbb{Z}[X] convergeant uniformément vers ff sur [0,1][0,1].

  • Comme chaque PnP_n est continu sur [0,1][0,1], la limite uniforme ff est également continue sur [0,1][0,1].
  • Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, Pn(0)P_n(0) est un entier car Pn∈Z[X]P_n \in \mathbb{Z}[X]. La suite d'entiers (Pn(0))(P_n(0)) converge vers f(0)f(0), elle est donc stationnaire à partir d'un certain rang. Ainsi, f(0)∈Zf(0) \in \mathbb{Z}.
  • De même, Pn(1)∈ZP_n(1) \in \mathbb{Z} pour tout nn (la somme des coefficients d'un polynôme à coefficients entiers est un entier). La convergence de (Pn(1))(P_n(1)) vers f(1)f(1) impose f(1)∈Zf(1) \in \mathbb{Z}.

f∈C([0,1],R)etf(0)∈Z, f(1)∈Z\boxed{ f \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})   \text{et}   f(0) \in \mathbb{Z}, \ f(1) \in \mathbb{Z} }

2. Démonstration de la suffisance.

Supposons ff continue sur [0,1][0,1] avec f(0),f(1)∈Zf(0), f(1) \in \mathbb{Z}. On considère les polynômes de Bernstein associés à ff :

Bn(f)(t)=∑k=0n(nk)f(kn)tk(1−t)n−kB_n(f)(t) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f\left(\frac{k}{n}\right) t^k(1-t)^{n-k}

D'après le théorème de Bernstein, on sait que (Bn(f))(B_n(f)) converge uniformément vers ff sur [0,1][0,1]. Cependant, les coefficients (nk)f(k/n)\binom{n}{k} f(k/n) ne sont pas nécessairement des entiers. Construisons une suite (Pn)(P_n) dans Z[X]\mathbb{Z}[X] en posant :

Pn(t)=∑k=0n⌊(nk)f(kn)⌋tk(1−t)n−kP_n(t) = \sum_{k=0}^n \left\lfloor \binom{n}{k} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\rfloor t^k(1-t)^{n-k}

Puisque (nk)\binom{n}{k} est un entier et que tk(1−t)n−kt^k(1-t)^{n-k} se développe en un polynôme à coefficients entiers, PnP_n appartient bien à Z[X]\mathbb{Z}[X]. Évaluons l'écart entre Bn(f)B_n(f) et PnP_n :

∣Bn(f)(t)−Pn(t)∣=∣∑k=0n((nk)f(kn)−⌊(nk)f(kn)⌋)tk(1−t)n−k∣|B_n(f)(t) - P_n(t)| = \left| \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k} f\left(\frac{k}{n}\right) - \left\lfloor \binom{n}{k} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\rfloor \right) t^k(1-t)^{n-k} \right|

Comme f(0)∈Zf(0) \in \mathbb{Z} et f(1)∈Zf(1) \in \mathbb{Z}, on a pour k=0k=0 et k=nk=n :

(n0)f(0)=f(0)∈Z  ⟹  diffeˊrence nulle\binom{n}{0} f(0) = f(0) \in \mathbb{Z} \implies \text{différence nulle}
(nn)f(1)=f(1)∈Z  ⟹  diffeˊrence nulle\binom{n}{n} f(1) = f(1) \in \mathbb{Z} \implies \text{différence nulle}

Pour 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1, on utilise la majoration classique ∣x−⌊x⌋∣<1|x - \lfloor x \rfloor| < 1. On obtient :

∣Bn(f)(t)−Pn(t)∣≤∑k=1n−1tk(1−t)n−k=Un(t)|B_n(f)(t) - P_n(t)| \leq \sum_{k=1}^{n-1} t^k(1-t)^{n-k} = U_n(t)

Montrons que ∥Un∥∞→0\|U_n\|_\infty \to 0. Soit ε∈]0,1/2[\varepsilon \in ]0, 1/2[.

Cas 1 : Si t∈[0,ε]∪[1−ε,1]t \in [0, \varepsilon] \cup [1-\varepsilon, 1]. On remarque que t(1−t)≤ε(1−ε)≤εt(1-t) \leq \varepsilon(1-\varepsilon) \leq \varepsilon.

Un(t)=t(1−t)∑k=0n−2tk(1−t)n−k−2≤t(1−t)∑k=0n−2(n−2k)tk(1−t)n−k−2U_n(t) = t(1-t) \sum_{k=0}^{n-2} t^k(1-t)^{n-k-2} \leq t(1-t) \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k} t^k(1-t)^{n-k-2}
L'inégalité provient du fait que les coefficients binomiaux sont ≥1\geq 1. Par la formule du binôme :
Un(t)≤t(1−t)⋅(t+(1−t))n−2=t(1−t)≤εU_n(t) \leq t(1-t) \cdot (t + (1-t))^{n-2} = t(1-t) \leq \varepsilon

Cas 2 : Si t∈[ε,1−ε]t \in [\varepsilon, 1-\varepsilon]. Chaque terme tk(1−t)n−kt^k(1-t)^{n-k} est majoré. On a t≤1−εt \leq 1-\varepsilon et 1−t≤1−ε1-t \leq 1-\varepsilon, donc t(1−t)≤(1−ε)t(1-t) \leq (1-\varepsilon). Plus précisément, la fonction h(t)=t(1−t)h(t)=t(1-t) atteint son maximum en 1/21/2. Sur l'intervalle considéré, h(t)≤max⁡(h(ε),h(1/2))h(t) \leq \max(h(\varepsilon), h(1/2)). Ici, t(1−t)≤1/4t(1-t) \leq 1/4 et chaque terme tk(1−t)n−k=t(1−t)⋅tk−1(1−t)n−k−1≤14(1−ε)n−2t^k(1-t)^{n-k} = t(1-t) \cdot t^{k-1}(1-t)^{n-k-1} \leq \frac{1}{4} (1-\varepsilon)^{n-2}. En sommant :

Un(t)≤(n−1)(1−ε)n−1U_n(t) \leq (n-1) (1-\varepsilon)^{n-1}

Comme (n−1)(1−ε)n−1→0(n-1)(1-\varepsilon)^{n-1} \to 0, il existe NN tel que pour n≥Nn \geq N, cette quantité soit ≤ε\leq \varepsilon. On en déduit que UnU_n converge uniformément vers 00 sur [0,1][0,1]. Par inégalité triangulaire, (Pn)(P_n) converge uniformément vers ff.

Condition : f∈C([0,1],R) et f(0),f(1)∈Z\boxed{ \text{Condition : } f \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}) \text{ et } f(0), f(1) \in \mathbb{Z} }

Oublier la condition sur les valeurs aux bornes (0 et 1).

Technique de modification des coefficients de Bernstein pour l'approximation discrète.