Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Résolution.

1. Pour $n \geq 2$ (le cas $n=1$ est vide pour l'intervalle d'indices), la suite des coefficients binomiaux $(\binom{n}{k})_{0 \leq k \leq n}$ est croissante jusqu'à $\lfloor n/2 \rfloor$. Ainsi, pour $1 \leq k \leq n-1$ :
   $$\binom{n}{k} \geq \binom{n}{1} = n$$
   $$\boxed{\forall k \in \{1, \dots, n-1\},   \binom{n}{k} \geq n}$$

2. Calculons la différence :
   $$B_n(f)(x) - C_n(x) = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k} f\left(\frac{k}{n}\right) - \left\lfloor \binom{n}{k} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\rfloor \right) x^k (1-x)^{n-k}$$
   Posons $\varepsilon_k = y_k - \lfloor y_k \rfloor$ où $y_k = \binom{n}{k} f(k/n)$. On sait que $0 \leq \varepsilon_k < 1$. De plus, pour $k=0$ et $k=n$ : $y_0 = \binom{n}{0} f(0) = f(0) \in \mathbb{Z}$, donc $\varepsilon_0 = 0$. $y_n = \binom{n}{n} f(1) = f(1) \in \mathbb{Z}$, donc $\varepsilon_n = 0$. L'expression devient :
   $$|B_n(f)(x) - C_n(x)| = \sum_{k=1}^{n-1} \varepsilon_k x^k (1-x)^{n-k}$$
   Comme $0 \leq \varepsilon_k < 1$ et $\binom{n}{k} \geq n$ pour ces indices :
   $$\varepsilon_k < 1 \leq \frac{1}{n} \binom{n}{k}$$
   Donc :
   $$|B_n(f)(x) - C_n(x)| \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$$
   Puisque $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = 1$, la somme tronquée est inférieure ou égale à $1$. D'où :
   $$\boxed{\forall x \in [0,1],   |B_n(f)(x) - C_n(x)| \leq \frac{1}{n}}$$

3. On a $\|f - C_n\|_\infty \leq \|f - B_n(f)\|_\infty + \|B_n(f) - C_n\|_\infty$. D'après le théorème de Weierstrass, $\|f - B_n(f)\|_\infty \to 0$. D'après la question précédente, $\|B_n(f) - C_n\|_\infty \to 0$. Par inégalité triangulaire, $(C_n)$ converge uniformément vers $f$. Vérification du caractère entier : $C_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k (1-x)^{n-k}$ où $a_k \in \mathbb{Z}$. En développant $(1-x)^{n-k}$ par la formule du binôme, on obtient une somme de termes de la forme $c \cdot x^j$ avec $c \in \mathbb{Z}$. Ainsi, $C_n \in \mathbb{Z}[X]$.