Vitesse de convergence des polynômes de Bernstein

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur le segment $[0,1]$ à valeurs réelles. Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $x \in [0,1]$ , on définit le $n$ -ième polynôme de Bernstein de $f$ par :

B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} f\left(\frac{k}{n}\right)

Déterminer la limite, pour tout $x \in [0,1]$ , de la suite de terme général :

\Delta_n(x) = n\left(B_{n}(f)(x)-f(x)\right)

1.

Introduire une variable aléatoire $S_n$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, x)$ pour interpréter $B_n(f)(x)$ comme une espérance.

2.

Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $2$ pour exprimer $f(\frac{k}{n}) - f(x)$ .

3.

Pour traiter le terme d'erreur, utiliser l'uniforme continuité de $f''$ sur $[0,1]$ (théorème de Heine) et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou un calcul de moment d'ordre 4.

Idées clés

•

Interprétation probabiliste : $B_n(f)(x) = E[f(S_n/n)]$ .

•

Développement de Taylor-Lagrange ou Taylor avec reste intégral.

•

Décomposition de l'espérance selon l'écart à la moyenne (méthode de coupure).

1. Interprétation probabiliste.

Soit $x \in [0,1]$ . Considérons $X_1, \dots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(x)$ . On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ . On a $S_n \sim \mathcal{B}(n, x)$ .

Par le théorème de transfert, on reconnaît :

B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) P(S_n = k) = E\left[ f\left(\frac{S_n}{n}\right) \right]

2. Décomposition de Taylor.

Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral à $f$ entre $x$ et $t \in [0,1]$ :

f(t) = f(x) + (t-x)f'(x) + \frac{(t-x)^2}{2}f''(x) + \int_x^t (t-u)(f''(u) - f''(x))   du

Appliquons cette égalité à $t = \frac{S_n}{n}$ et passons à l'espérance :

E\left[f\left(\frac{S_n}{n}\right)\right] = f(x) + E\left[\frac{S_n}{n}-x\right]f'(x) + \frac{E\left[(\frac{S_n}{n}-x)^2\right]}{2}f''(x) + E[R_n]

où $R_n = \int_x^{S_n/n} \left(\frac{S_n}{n}-u\right)(f''(u) - f''(x)) du$ .

3. Calcul des moments de la loi binomiale.

On sait que $E[S_n] = nx$ et $Var(S_n) = nx(1-x)$ . Par linéarité de l'espérance :

E\left[\frac{S_n}{n}-x\right] = \frac{1}{n}E[S_n] - x = 0

E\left[\left(\frac{S_n}{n}-x\right)^2\right] = Var\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2}Var(S_n) = \frac{x(1-x)}{n}

L'expression devient :

B_n(f)(x) - f(x) = \frac{x(1-x)}{2n}f''(x) + E[R_n]

Multiplions par $n$ :

n(B_n(f)(x) - f(x)) = \frac{x(1-x)f''(x)}{2} + nE[R_n]

4. Estimation du reste $n E[R_n]$ .

Soit $\epsilon > 0$ . Puisque $f''$ est continue sur le segment $[0,1]$ , elle y est uniformément continue d'après le théorème de Heine. Il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $(u, x) \in [0,1]^2$ , $|u-x| \le \delta \implies |f''(u)-f''(x)| \le \epsilon$ .

On majore $|R_n|$ :

|R_n| \le \left| \int_x^{S_n/n} |S_n/n - u| \cdot |f''(u) - f''(x)|   du \right|

Si $|\frac{S_n}{n} - x| \le \delta$ , alors pour tout $u$ entre $x$ et $S_n/n$ , $|u-x| \le \delta$ . $|R_n| \le \int_x^{S_n/n} |S_n/n - u| \cdot \epsilon du = \frac{\epsilon}{2} \left(\frac{S_n}{n} - x\right)^2$
Si $|\frac{S_n}{n} - x| > \delta$ , on majore $|f''(u)-f''(x)|$ par $2\|f''\|_\infty$ . $|R_n| \le 2\|f''\|_\infty \int_x^{S_n/n} |S_n/n - u| du = \|f''\|_\infty \left(\frac{S_n}{n} - x\right)^2$

En notant $\mathbb{1}_{A}$ la fonction indicatrice de l'événement $A$ , on a :

n|E[R_n]| \le n E[|R_n| \mathbb{1}_{|S_n/n-x| \le \delta}] + n E[|R_n| \mathbb{1}_{|S_n/n-x| > \delta}]

n|E[R_n]| \le \frac{\epsilon}{2} n E\left[\left(\frac{S_n}{n}-x\right)^2\right] + n \|f''\|_\infty E\left[\left(\frac{S_n}{n}-x\right)^2 \mathbb{1}_{|S_n/n-x| > \delta}\right]

D'une part, $\frac{\epsilon}{2} n \frac{x(1-x)}{n} = \frac{\epsilon x(1-x)}{2} \le \frac{\epsilon}{8}$ .

D'autre part, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

E\left[\left(\frac{S_n}{n}-x\right)^2 \mathbb{1}_{|S_n/n-x| > \delta}\right] \le \sqrt{E\left[\left(\frac{S_n}{n}-x\right)^4\right]} \sqrt{P\left(\left|\frac{S_n}{n}-x\right| > \delta\right)}

On sait que $E[(\frac{S_n}{n}-x)^4] = O(1/n^2)$ et par Bienaymé-Tchebychev $P(|\frac{S_n}{n}-x| > \delta) \le \frac{x(1-x)}{n\delta^2} = O(1/n)$ . Ainsi, le second terme est un $O(n \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}) = O(1/\sqrt{n})$ , qui tend vers $0$ .

Finalement, $nE[R_n] \to 0$ quand $n \to \infty$ .

\boxed{ n(B_n(f)(x) - f(x)) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{x(1-x)f''(x)}{2} }

Utiliser Taylor-Young au lieu d'une formule de Taylor globale (reste intégral) empêchant le contrôle uniforme.

L'interprétation probabiliste des polynômes de Bernstein : B_n(f)(x) = E[f(S_n/n)] où S_n suit une loi binomiale.