Monotonie et convergence des polynômes de Bernstein

Résolution.

1. Considérons une variable aléatoire $U$ suivant la loi uniforme sur $[0,1]$. Soient $p, p' \in [0,1]$ tels que $p' \leq p$. Définissons :
   $$X = \mathbf{1}_{\{U \leq p\}}   \text{et}   X' = \mathbf{1}_{\{U \leq p'\}}$$
   Puisque $U \leq p' \implies U \leq p$ (car $p' \leq p$), on a immédiatement :
   $$\boxed{ X' \leq X }$$
   De plus, $P(X=1) = P(U \leq p) = p$ et $P(X'=1) = P(U \leq p') = p'$. Ainsi, $X$ et $X'$ suivent bien des lois de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ et $\mathcal{B}(p')$.

2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soient $0 \leq p' \leq p \leq 1$. Considérons une suite $(U_i)_{1 \leq i \leq n}$ de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $[0,1]$. Posons $X_i = \mathbf{1}_{\{U_i \leq p\}}$ et $X'_i = \mathbf{1}_{\{U_i \leq p'\}}$. D'après la question précédente, pour tout $i$, $X'_i \leq X_i$. Posons $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $S'_n = \sum_{i=1}^n X'_i$. Par sommation :
   $$S'_n \leq S_n \implies \frac{S'_n}{n} \leq \frac{S_n}{n}$$
   Comme $f$ est croissante, on a $f\left(\frac{S'_n}{n}\right) \leq f\left(\frac{S_n}{n}\right)$. Par croissance de l'espérance :
   $$\mathbb{E}\left[ f\left(\frac{S'_n}{n}\right) \right] \leq \mathbb{E}\left[ f\left(\frac{S_n}{n}\right) \right]$$
   Or, $S_n \sim \mathcal{B}(n, p)$, donc :
   $$\mathbb{E}\left[ f\left(\frac{S_n}{n}\right) \right] = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) P(S_n = k) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = B_n(f)(p)$$
   On en déduit que $B_n(f)(p') \leq B_n(f)(p)$, ce qui prouve que :
   $$\boxed{ B_n(f) \text{ est croissante sur } [0,1] }$$

3. Soit $\epsilon > 0$. $f$ est continue sur le segment $[0,1]$, donc d'après le théorème de Heine, elle y est uniformément continue :
   $$\exists \delta > 0, \forall (x,y) \in [0,1]^2, |x-y| \leq \delta \implies |f(x)-f(y)| \leq \epsilon$$
   Soit $x \in [0,1]$. On a :
   $$|B_n(f)(x) - f(x)| = \left| \mathbb{E}\left[ f\left(\frac{S_n}{n}\right) \right] - f(x) \right| \leq \mathbb{E}\left[ \left| f\left(\frac{S_n}{n}\right) - f(x) \right| \right]$$
   Découpons l'espérance selon l'événement $A = \{ |\frac{S_n}{n} - x| \leq \delta \}$ :
   $$\mathbb{E}[|f(S_n/n) - f(x)|] = \mathbb{E}[|f(S_n/n) - f(x)| \cdot \mathbf{1}_A] + \mathbb{E}[|f(S_n/n) - f(x)| \cdot \mathbf{1}_{\bar{A}}]$$
   - Sur $A$, $|f(S_n/n) - f(x)| \leq \epsilon$ par continuité uniforme. Donc $\mathbb{E}[\dots \mathbf{1}_A] \leq \epsilon P(A) \leq \epsilon$. - Sur $\bar{A}$, on majore $|f(S_n/n) - f(x)|$ par $2\|f\|_\infty$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, comme $\mathbb{E}[S_n/n] = x$ et $Var(S_n/n) = \frac{x(1-x)}{n}$ :
   $$P(\bar{A}) = P\left( \left| \frac{S_n}{n} - x \right| > \delta \right) \leq \frac{Var(S_n/n)}{\delta^2} = \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2}$$
   On obtient :
   $$|B_n(f)(x) - f(x)| \leq \epsilon + \frac{2\|f\|_\infty}{4n\delta^2}$$
   Cette majoration est indépendante de $x$. Pour $n$ assez grand ($n \geq \frac{\|f\|_\infty}{2\epsilon\delta^2}$), on a :
   $$\sup_{x \in [0,1]} |B_n(f)(x) - f(x)| \leq 2\epsilon$$
   \boxed{ (B_n(f)) \text{ converge uniformément vers } f \text{ sur } [0,1] }