Théorème de Stone-Weierstrass par les polynômes de Bernstein

On se propose de démontrer le théorème de Stone-Weierstrass par une approche probabiliste en utilisant les polynômes de Bernstein.

Soit $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $k$ -lipschitzienne. Pour $x \in [0,1]$ , on considère une suite de variables aléatoires $(Y_i)_{i \in \mathbb{N}^*}$ indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(x)$ . On pose $S_n = \sum_{i=1}^n Y_i$ et $X_n = \frac{1}{n} S_n$ . Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $|E(f(X_n)) - f(x)| \leq k \sqrt{V(X_n)}$
En déduire que toute fonction lipschitzienne sur $[0,1]$ est la limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales que l'on explicitera.
On admet que toute fonction continue sur $[0,1]$ est limite uniforme de fonctions affines par morceaux. Montrer que toute fonction continue sur $[0,1]$ est limite uniforme de fonctions polynomiales.
Généraliser le résultat : montrer que toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est limite uniforme d'une suite de polynômes.
Soit $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ . Prouver l'existence d'une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $\|P_n' - f'\|_{\infty} \rightarrow 0$ et $\|P_n - f\|_{\infty} \rightarrow 0$ .

1.

Pour la question 1, utiliser la linéarité de l'espérance, le caractère lipschitzien de $f$ , puis l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour l'espérance ( $E(|Z|) \leq \sqrt{E(Z^2)}$ ).

2.

Pour la question 2, identifier $E(f(X_n))$ comme un polynôme en $x$ (polynôme de Bernstein) et majorer la variance $V(X_n)$ .

3.

Pour la question 3, utiliser le fait que les fonctions affines par morceaux sur un segment sont lipschitziennes.

4.

Pour la question 4, utiliser un changement de variable affine pour se ramener à $[0,1]$ .

5.

Pour la question 5, approcher $f'$ par une suite de polynômes $(Q_n)$ et définir $P_n$ par intégration.

Idées clés

•

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires.

•

Propriétés de la loi binomiale : $E(X_n) = x$ et $V(X_n) = \frac{x(1-x)}{n}$ .

•

Densité des fonctions lipschitziennes dans les fonctions continues.

•

Transfert de la convergence uniforme par intégration.

Résolution.

Par linéarité de l'espérance, on a $E(f(X_n)) - f(x) = E(f(X_n) - f(x))$ . En utilisant le caractère $k$ -lipschitzien de $f$ , on obtient pour tout $\omega$ : $|f(X_n(\omega)) - f(x)| \leq k |X_n(\omega) - x|$ En passant à l'espérance et en utilisant la croissance de celle-ci : $|E(f(X_n) - f(x))| \leq E(|f(X_n) - f(x)|) \leq k E(|X_n - x|)$ D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux variables aléatoires $|X_n - x|$ et $1$ : $E(|X_n - x|) \leq \sqrt{E((X_n - x)^2)} \times \sqrt{E(1^2)}$ Comme $E(X_n) = x$ , on reconnaît la définition de la variance $V(X_n) = E((X_n - x)^2)$ . Ainsi : $\boxed{|E(f(X_n)) - f(x)| \leq k \sqrt{V(X_n)}}$
Soit $B_n(f)(x) = E(f(X_n))$ . Comme $S_n$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, x)$ , on a : $B_n(f)(x) = \sum_{j=0}^n f\left(\frac{j}{n}\right) \binom{n}{j} x^j (1-x)^{n-j}$ C'est bien une fonction polynomiale en $x$ . D'autre part, on sait que $V(X_n) = \frac{V(S_n)}{n^2} = \frac{nx(1-x)}{n^2} = \frac{x(1-x)}{n}$ . L'étude de la fonction $x \mapsto x(1-x)$ sur $[0,1]$ montre que son maximum est $\frac{1}{4}$ (atteint en $x = 1/2$ ). D'après la question précédente : $|B_n(f)(x) - f(x)| \leq k \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{k}{2\sqrt{n}}$ Cette majoration est indépendante de $x$ . On en déduit : $\boxed{\|B_n(f) - f\|_{\infty} \leq \frac{k}{2\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$
Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ et $\epsilon > 0$ . Par hypothèse, il existe une fonction affine par morceaux $g$ telle que $\|f - g\|_{\infty} \leq \epsilon/2$ . Une fonction affine par morceaux sur un segment est lipschitzienne (le rapport de réduction est borné par le maximum des pentes des segments). D'après la question 2, il existe un polynôme $P$ tel que $\|g - P\|_{\infty} \leq \epsilon/2$ . Par inégalité triangulaire : $\|f - P\|_{\infty} \leq \|f - g\|_{\infty} + \|g - P\|_{\infty} \leq \epsilon$ On conclut que toute fonction continue est limite uniforme de polynômes sur $[0,1]$ .
Soit $f \in \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R})$ . On définit $\phi : [0, 1] \to [a, b]$ par $\phi(t) = a + t(b-a)$ . La fonction $g = f \circ \phi$ est continue sur $[0, 1]$ . Il existe une suite de polynômes $(Q_n)$ convergeant uniformément vers $g$ sur $[0, 1]$ . Posons $P_n = Q_n \circ \phi^{-1}$ , soit $P_n(x) = Q_n\left(\frac{x-a}{b-a}\right)$ . $P_n$ est un polynôme comme composée d'un polynôme et d'une fonction affine. De plus : $\sup_{x \in [a,b]} |P_n(x) - f(x)| = \sup_{t \in [0,1]} |Q_n(t) - f(\phi(t))| = \|Q_n - g\|_{\infty} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$
Soit $f \in \mathcal{C}^1([a, b], \mathbb{R})$ . Alors $f'$ est continue sur $[a, b]$ . D'après la question 4, il existe une suite de polynômes $(Q_n)$ telle que $\|Q_n - f'\|_{\infty} \to 0$ . Posons pour tout $x \in [a, b]$ : $P_n(x) = f(a) + \int_a^x Q_n(t) dt$ Comme $Q_n$ est un polynôme, sa primitive $x \mapsto \int_a^x Q_n(t) dt$ est un polynôme. Donc $P_n$ est un polynôme. Par construction, $P_n' = Q_n$ , donc $\boxed{\|P_n' - f'\|_{\infty} \to 0}$ . De plus, pour tout $x \in [a, b]$ : $|P_n(x) - f(x)| = \left| f(a) + \int_a^x Q_n(t) dt - \left( f(a) + \int_a^x f'(t) dt \right) \right|$ $|P_n(x) - f(x)| \leq \int_a^x |Q_n(t) - f'(t)| dt \leq (b-a) \|Q_n - f'\|_{\infty}$ En passant au supremum, $\|P_n - f\|_{\infty} \leq (b-a) \|Q_n - f'\|_{\infty} \to 0$ .

Oublier de vérifier que la majoration de l'erreur est indépendante de x pour conclure à la convergence uniforme.

Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes.