Approximation par polynômes pairs

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

On considère l'espace vectoriel $E = \mathcal{C}([0, a], \mathbb{R})$ des fonctions continues sur $[0, a]$ à valeurs réelles, muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ .

Démontrer que toute fonction $f \in E$ est limite uniforme sur $[0, a]$ d'une suite de fonctions de la forme $t \mapsto P(t^2)$ , où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes à coefficients réels $\mathbb{R}[X]$ .

1.

Utiliser un changement de variable pour se ramener à l'approximation des fonctions continues par des polynômes classiques sur un intervalle approprié.

2.

Poser $u = t^2$ et considérer la fonction $g(u) = f(\sqrt{u})$ .

3.

Appliquer le théorème de Weierstrass à la fonction $g$ .

Idées clés

•

Théorème d'approximation de Weierstrass.

•

Changement de variable par homéomorphisme.

•

Conservation de la convergence uniforme par composition.

Résolution.

Considérons une fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}([0, a], \mathbb{R})$ .

On souhaite approcher $f$ par des fonctions de la forme $t \mapsto P(t^2)$ . L'idée naturelle est de poser le changement de variable $u = t^2$ .

Définissons l'application suivante :

\varphi : [0, a] \to [0, a^2],   t \mapsto t^2

Cette application $\varphi$ est continue et réalise une bijection de $[0, a]$ sur $[0, a^2]$ . Puisque $[0, a]$ est un segment, $\varphi$ est un homéomorphisme. Sa réciproque est donnée par $\varphi^{-1}(u) = \sqrt{u}$ .

Posons alors la fonction $g$ définie sur le segment $[0, a^2]$ par :

\forall u \in [0, a^2],   g(u) = f(\sqrt{u})

Puisque $f$ est continue sur $[0, a]$ et que la fonction racine carrée est continue sur $[0, a^2]$ , par composition, la fonction $g$ est continue sur le segment $[0, a^2]$ .

D'après le théorème d'approximation de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\mathbb{R}[X]$ qui converge uniformément vers $g$ sur $[0, a^2]$ .

Cela signifie que :

\lim_{n \to +\infty} \left( \sup_{u \in [0, a^2]} |g(u) - P_n(u)| \right) = 0

On s'intéresse maintenant à l'écart entre $f(t)$ et $P_n(t^2)$ pour $t \in [0, a]$ . Remarquons que pour tout $t \in [0, a]$ , on a $t^2 \in [0, a^2]$ . Par définition de $g$ , on a $f(t) = g(t^2)$ .

Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\sup_{t \in [0, a]} |f(t) - P_n(t^2)| = \sup_{t \in [0, a]} |g(t^2) - P_n(t^2)|

En effectuant le changement de variable $u = t^2$ , l'ensemble des valeurs prises par $t^2$ quand $t$ parcourt $[0, a]$ est exactement le segment $[0, a^2]$ . On a donc l'égalité des supremas :

\sup_{t \in [0, a]} |f(t) - P_n(t^2)| = \sup_{u \in [0, a^2]} |g(u) - P_n(u)|

D'après le résultat de convergence uniforme de $(P_n)$ vers $g$ , on en déduit immédiatement :

\lim_{n \to +\infty} \|f - P_n \circ \varphi\|_{\infty, [0, a]} = 0

\boxed{ \text{La fonction } f \text{ est limite uniforme sur } [0, a] \text{ de la suite de fonctions } (t \mapsto P_n(t^2))_{n \in \mathbb{N}} }

Vérifier le domaine de définition (positivité de t) pour assurer l'injectivité du changement de variable.

La composition par un homéomorphisme conserve la densité pour la norme de la convergence uniforme.