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Convergence uniforme et parité

paritésymétrisationWeierstrassOpérateur de symétrisation

Soit ff une fonction définie sur [−1,1][-1, 1] à valeurs réelles. À quelle condition nécessaire et suffisante la fonction ff est-elle limite uniforme sur [−1,1][-1, 1] d'une suite de polynômes pairs ?

1.

La condition de continuité et de parité est clairement nécessaire.

2.

Pour la suffisance, partir d'une suite de polynômes (Qn)(Q_n) convergeant vers ff (Weierstrass) et "symétriser" ces polynômes.

Idées clés

•

Utilisation de la parité pour construire une suite convergente.

•

Stabilité de la convergence uniforme par opération de moyenne.

Résolution.

Condition nécessaire. Supposons que ff soit la limite uniforme sur [−1,1][-1, 1] d'une suite de polynômes pairs (Pn)(P_n). Chaque PnP_n est continu, donc ff est continue. De plus, pour tout x∈[−1,1]x \in [-1, 1], Pn(x)=Pn(−x)P_n(x) = P_n(-x). Par passage à la limite dans l'égalité :

f(x)=lim⁡n→∞Pn(x)=lim⁡n→∞Pn(−x)=f(−x)f(x) = \lim_{n \to \infty} P_n(x) = \lim_{n \to \infty} P_n(-x) = f(-x)
La fonction ff doit donc être continue et paire sur [−1,1][-1, 1].

Condition suffisante. Soit ff une fonction continue et paire sur [−1,1][-1, 1]. D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes (Qn)(Q_n) telle que :

∥f−Qn∥∞→n→∞0\|f - Q_n\|_{\infty} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
Définissons pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} le polynôme PnP_n par :
∀x∈[−1,1],Pn(x)=Qn(x)+Qn(−x)2\forall x \in [-1, 1],   P_n(x) = \frac{Q_n(x) + Q_n(-x)}{2}
Par construction, PnP_n est un polynôme pair. Évaluons l'écart avec ff :
∣f(x)−Pn(x)∣=∣f(x)+f(−x)2−Qn(x)+Qn(−x)2∣|f(x) - P_n(x)| = \left| \frac{f(x) + f(-x)}{2} - \frac{Q_n(x) + Q_n(-x)}{2} \right|
En utilisant l'inégalité triangulaire :
∣f(x)−Pn(x)∣≤12∣f(x)−Qn(x)∣+12∣f(−x)−Qn(−x)∣|f(x) - P_n(x)| \le \frac{1}{2} |f(x) - Q_n(x)| + \frac{1}{2} |f(-x) - Q_n(-x)|
Comme xx et −x-x appartiennent à [−1,1][-1, 1], on en déduit :
∥f−Pn∥∞≤12∥f−Qn∥∞+12∥f−Qn∥∞=∥f−Qn∥∞\|f - P_n\|_{\infty} \le \frac{1}{2} \|f - Q_n\|_{\infty} + \frac{1}{2} \|f - Q_n\|_{\infty} = \|f - Q_n\|_{\infty}
Ainsi, ∥f−Pn∥∞\|f - P_n\|_{\infty} tend vers 0. ff est bien limite uniforme de polynômes pairs.

f est continue et paire sur [−1,1]\boxed{f \text{ est continue et paire sur } [-1, 1]}

Ne pas oublier de justifier que la symétrisée d'une suite convergente converge vers la symétrisée de la limite.

La symétrisation permet de conserver la convergence uniforme tout en imposant une propriété de parité.