Théorème de Korovkin et opérateurs positifs

Soit $I = [a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ ( $a < b$ ). On note $E = \mathcal{C}^0(I, \mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues sur $I$ à valeurs réelles, muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_\infty$ .

Un endomorphisme $L$ de $E$ est dit positif si, pour toute fonction $f \in E$ , on a l'implication :

\forall x \in I, f(x) \geq 0 \implies \forall x \in I, L(f)(x) \geq 0

Pour tout $k \in \{0, 1, 2\}$ , on définit la fonction puissance $e_k : x \mapsto x^k$ .

Soient $f \in E$ et $\varepsilon > 0$ . Montrer qu'il existe une constante $C > 0$ telle que : $\forall (x, y) \in I^2, |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon + C(x - y)^2$
Soit $L$ $L$ un endomorphisme positif de $E$ $E$ .
1. Montrer que $L$ est croissant, c'est-à-dire que pour toutes fonctions $f, g \in E$ , si $f \leq g$ , alors $L(f) \leq L(g)$ .
2. En déduire que $L$ est un opérateur linéaire continu sur $(E, \|\cdot\|_\infty)$ et exprimer une borne de sa norme d'opérateur en fonction de $L(e_0)$ .
Soit $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'endomorphismes positifs de $E$ . On suppose que pour chaque $k \in \{0, 1, 2\}$ , la suite $(L_n(e_k))$ converge uniformément vers $e_k$ sur $I$ . Démontrer que pour toute fonction $f \in E$ , la suite $(L_n(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ .
Application : polynômes de Bernstein. On se place sur $I = [0, 1]$ . Pour $f \in E$ , on définit le $n$ -ième polynôme de Bernstein de $f$ par : $\forall x \in [0, 1], B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$ Montrer que pour toute fonction $f \in \mathcal{C}^0([0, 1], \mathbb{R})$ , la suite $(B_n(f))$ converge uniformément vers $f$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le théorème de Heine sur la continuité uniforme de $f$ sur le compact $I$ . Distinguer les cas $|x-y| \leq \delta$ et $|x-y| > \delta$ .

2.

Pour la question 2.(b), utiliser l'encadrement $-\|f\|_\infty e_0 \leq f \leq \|f\|_\infty e_0$ .

3.

Pour la question 3, appliquer l'opérateur $L_n$ à l'inégalité de la question 1 en fixant $y$ et en considérant $f$ comme une fonction de la variable $x$ .

4.

Pour la question 4, vérifier les conditions du théorème de Korovkin en calculant $B_n(e_k)$ pour $k=0, 1, 2$ . On pourra utiliser des identités sur la loi binomiale ou dériver la formule du binôme de Newton.

Idées clés

•

Continuité uniforme (Théorème de Heine)

•

Propriétés des opérateurs linéaires positifs (croissance)

•

Approximation par les polynômes de Bernstein

Résolution.

Soit $\varepsilon > 0$ . Puisque $f$ est continue sur le segment $I$ , elle y est uniformément continue d'après le théorème de Heine. Il existe donc $\delta > 0$ tel que pour tout $(x, y) \in I^2$ , $|x-y| \leq \delta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon$ .
Par ailleurs, $f$ est bornée sur $I$ par une constante $M = \|f\|_\infty$ . Si $|x-y| > \delta$ , on a :
$|f(x)-f(y)| \leq 2M = \frac{2M}{\delta^2} \delta^2 < \frac{2M}{\delta^2} (x-y)^2$
En posant $C = \frac{2M}{\delta^2}$ , on obtient dans tous les cas :
$\forall (x, y) \in I^2, \boxed{|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon + C(x - y)^2}$
1. Soient $f, g \in E$ telles que $f \leq g$ . Alors $g - f \geq 0$ . Par linéarité et positivité de $L$ , on a $L(g-f) = L(g) - L(f) \geq 0$ , d'où $L(f) \leq L(g)$ . L'opérateur $L$ est donc croissant.
2. Pour toute fonction $f \in E$ , on a l'encadrement : $-\|f\|_\infty e_0 \leq f \leq \|f\|_\infty e_0$ Par croissance de $L$ et linéarité (en remarquant que $\|f\|_\infty$ est un scalaire) : $-\|f\|_\infty L(e_0) \leq L(f) \leq \|f\|_\infty L(e_0)$ On en déduit que pour tout $x \in I$ , $|L(f)(x)| \leq \|f\|_\infty \cdot |L(e_0)(x)| \leq \|f\|_\infty \|L(e_0)\|_\infty$ . En passant au sup sur $x$ , on obtient : $\boxed{\|L(f)\|_\infty \leq \|L(e_0)\|_\infty \cdot \|f\|_\infty}$ L'opérateur $L$ est donc continu et sa norme subordonnée vérifie $\|L\| \leq \|L(e_0)\|_\infty$ .
Soit $\varepsilon > 0$ et $f \in E$ . D'après la question 1, il existe $C > 0$ tel que pour tout $y \in I$ fixé : $\forall x \in I, -\varepsilon - C(x-y)^2 \leq f(x) - f(y) \leq \varepsilon + C(x-y)^2$ Ceci se réécrit en termes de fonctions (la variable étant $x$ ) : $-\varepsilon e_0 - C(e_2 - 2y e_1 + y^2 e_0) \leq f - f(y) e_0 \leq \varepsilon e_0 + C(e_2 - 2y e_1 + y^2 e_0)$ Appliquons l'opérateur positif $L_n$ . Par linéarité et croissance : $-\varepsilon L_n(e_0) - C[L_n(e_2) - 2y L_n(e_1) + y^2 L_n(e_0)] \leq L_n(f) - f(y) L_n(e_0) \leq \dots$ En évaluant en $x=y$ , on obtient pour tout $y \in I$ : $|L_n(f)(y) - f(y) L_n(e_0)(y)| \leq \varepsilon L_n(e_0)(y) + C[L_n(e_2)(y) - 2y L_n(e_1)(y) + y^2 L_n(e_0)(y)]$ Notons $U_n(y) = L_n(e_2)(y) - 2y L_n(e_1)(y) + y^2 L_n(e_0)(y)$ . Comme $L_n(e_k) \xrightarrow{unif} e_k$ : $U_n \xrightarrow[n \to \infty]{unif} e_2 - 2e_1^2 + e_1^2 \cdot e_0 = e_2 - 2e_1^2 + e_2 = 0$ Ainsi, $\|L_n(f) - f \cdot L_n(e_0)\|_\infty \leq \varepsilon \|L_n(e_0)\|_\infty + C \|U_n\|_\infty$ . Comme $L_n(e_0) \to 1$ , pour $n$ assez grand, $\|L_n(e_0)\|_\infty \leq 2$ et $\|L_n(f) - f \cdot L_n(e_0)\|_\infty \leq 3\varepsilon$ . Enfin, $\|L_n(f) - f\|_\infty \leq \|L_n(f) - f L_n(e_0)\|_\infty + \|f(L_n(e_0) - e_0)\|_\infty \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ . On conclut que : $\boxed{L_n(f) \xrightarrow[n \to \infty]{unif} f}$
Les opérateurs de Bernstein $B_n$ $B_{n}$ sont clairement linéaires. De plus, si $f \geq 0$ $f \geq 0$ , alors $B_n(f)$ $B_{n} (f)$ est une somme de termes positifs car $x^k(1-x)^{n-k} \geq 0$ $x^{k} (1 - x)^{n - k} \geq 0$ sur $[0, 1]$ $[0, 1]$ . Donc $B_n$ $B_{n}$ est positif. Calculons les images de $e_0, e_1, e_2$ $e_{0}, e_{1}, e_{2}$ :
- $B_n(e_0)(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = (x + (1-x))^n = 1$ .
- $B_n(e_1)(x) = \sum_{k=0}^n \frac{k}{n} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} x^k (1-x)^{n-k} = x(x+1-x)^{n-1} = x$ .
- Un calcul similaire (ou via la variance d'une loi binomiale) donne $B_n(e_2)(x) = \frac{n-1}{n}x^2 + \frac{1}{n}x$ .
On constate que :
$B_n(e_0) \to e_0, B_n(e_1) \to e_1, B_n(e_2) \to e_2 \text{ uniformément sur } [0, 1]$
D'après le théorème de Korovkin démontré précédemment :
$\boxed{\forall f \in \mathcal{C}^0([0, 1], \mathbb{R}), B_n(f) \xrightarrow{unif} f}$

Confondre la variable x et le paramètre y dans l'application de la linéarité positive.

La convergence uniforme sur {1, x, x^2} d'opérateurs positifs implique la convergence uniforme sur toute fonction continue.