Densité d'une sous-algèbre monogène

Soit $S = [a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ (avec $a < b$ ) et $f : S \to \mathbb{R}$ une fonction continue.

On considère la sous-algèbre $\mathbb{R}[f]$ de $\mathcal{C}(S, \mathbb{R})$ définie par :

\mathbb{R}[f] = \{ P \circ f \mid P \in \mathbb{R}[X] \}

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la fonction $f$ pour que la sous-algèbre $\mathbb{R}[f]$ soit dense dans l'espace $(\mathcal{C}(S, \mathbb{R}), \|\cdot\|_{\infty})$ .

1.

Utiliser le théorème de Stone-Weierstrass.

2.

Examiner la propriété de séparation des points par la sous-algèbre $\mathbb{R}[f]$ .

3.

Pour la condition nécessaire, si $f$ n'est pas injective, montrer que toute fonction de l'adhérence de $\mathbb{R}[f]$ hérite d'une propriété de $f$ .

4.

Se rappeler qu'une fonction continue injective sur un segment est strictement monotone.

Idées clés

•

Théorème de Stone-Weierstrass (version réelle).

•

Propriété de séparation des points.

•

Lien entre injectivité et monotonie stricte pour les fonctions continues sur un intervalle.

Résolution.

Posons $\mathcal{A} = \mathbb{R}[f]$ . Par structure d'algèbre de $\mathbb{R}[X]$ , $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{C}(S, \mathbb{R})$ .

D'après le théorème de Stone-Weierstrass, une sous-algèbre $\mathcal{A}$ de $\mathcal{C}(S, \mathbb{R})$ est dense pour la norme de la convergence uniforme si et seulement si :

$\mathcal{A}$ contient la fonction constante égale à $1$ .
$\mathcal{A}$ sépare les points de $S$ , c'est-à-dire : $\forall (x, y) \in S^2, x \neq y \implies \exists g \in \mathcal{A}, g(x) \neq g(y)$

Vérifions ces conditions pour $\mathcal{A} = \mathbb{R}[f]$ .

1. Condition sur les constantes : La fonction constante égale à $1$ appartient bien à $\mathcal{A}$ car elle correspond au polynôme constant $P=1$ (puisque $1 \circ f = 1$ ).

2. Condition de séparation des points : Soient $x, y \in S$ tels que $x \neq y$ . Pour toute fonction $g \in \mathcal{A}$ , il existe un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $g = P \circ f$ .

Si $f(x) = f(y)$ , alors pour tout polynôme $P$ , on a $P(f(x)) = P(f(y))$ , d'où $g(x) = g(y)$ . Dans ce cas, $\mathcal{A}$ ne sépare pas les points $x$ et $y$ .

Si $f(x) \neq f(y)$ , alors la fonction $f$ elle-même (qui appartient à $\mathcal{A}$ pour $P=X$ ) sépare $x$ et $y$ puisque $f(x) \neq f(y)$ .

Ainsi, $\mathcal{A}$ sépare les points de $S$ si et seulement si $f$ est injective.

Synthèse : L'algèbre $\mathcal{A}$ est dense si et seulement si $f$ est injective.

Or, une fonction continue sur un segment $S = [a, b]$ est injective si et seulement si elle est strictement monotone.

\boxed{ \text{La condition nécessaire et suffisante est que } f \text{ soit strictement monotone.} }

Preuve plus détaillée de la nécessité : Si $f$ n'est pas injective, il existe $x_0 \neq y_0$ tels que $f(x_0) = f(y_0)$ . Alors pour toute fonction $g \in \mathbb{R}[f]$ , on a $g(x_0) = g(y_0)$ .

Si une suite $(g_n)$ de $\mathcal{A}$ converge uniformément vers une fonction $h \in \mathcal{C}(S, \mathbb{R})$ , alors par continuité de l'évaluation en un point :

h(x_0) = \lim_{n \to \infty} g_n(x_0) = \lim_{n \to \infty} g_n(y_0) = h(y_0)

Ainsi, toute fonction $h$ appartenant à l'adhérence $\bar{\mathcal{A}}$ vérifie $h(x_0) = h(y_0)$ . Comme il existe des fonctions continues sur $S$ telles que $h(x_0) \neq h(y_0)$ , l'adhérence $\bar{\mathcal{A}}$ ne peut pas être égale à $\mathcal{C}(S, \mathbb{R})$ .

Oublier de vérifier la présence des constantes dans l'algèbre ou oublier de traduire l'injectivité par la monotonie stricte sur un segment.

Une sous-algèbre de fonctions continues sur un compact contenant les constantes est dense si et seulement si elle sépare les points.