Algèbres de fonctions périodiques non monogènes

Soit $E = \mathcal{C}_{2\pi}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui sont $2\pi$ -périodiques, muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ .

Pour une fonction $f \in E$ , on note $\mathbb{R}[f]$ l'algèbre des fonctions de la forme $P(f)$ , où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes à coefficients réels.

Montrer que pour toute fonction $f \in E$ , il existe une fonction $g \in E$ qui n'est pas limite uniforme d'éléments de $\mathbb{R}[f]$ . En déduire que l'algèbre $E$ n'est pas topologiquement monogène.

1.

Commencer par caractériser les fonctions appartenant à l'adhérence $\overline{\mathbb{R}[f]}$ en termes de "fibres" de la fonction $f$ .

2.

Montrer qu'une fonction $g \in \overline{\mathbb{R}[f]}$ doit nécessairement vérifier la propriété suivante : si $f(x) = f(y)$ , alors $g(x) = g(y)$ .

3.

Utiliser la continuité et la périodicité de $f$ pour prouver qu'il existe deux points distincts $x, y \in [0, 2\pi[$ tels que $f(x) = f(y)$ .

4.

Construire une fonction de $E$ ne respectant pas cette condition.

Idées clés

•

Conservation des égalités par passage à la limite uniforme.

•

Non-injectivité des fonctions continues périodiques sur une période.

•

Caractérisation de l'adhérence d'une algèbre engendrée par une fonction.

1. Analyse de l'adhérence de $\mathbb{R$ [f] $R [f]$ .}

Soit $f \in E$ . Notons $A = \mathbb{R}[f] = \{ P \circ f \mid P \in \mathbb{R}[X] \}$ . Soit $g \in \overline{A}$ pour la norme $\|\cdot\|_{\infty}$ .

Il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que la suite de fonctions $(P_n \circ f)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $g$ sur $\mathbb{R}$ .

Considérons deux réels $x$ et $y$ tels que $f(x) = f(y)$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a :

P_n(f(x)) = P_n(f(y))

En passant à la limite quand $n \to +\infty$ , par convergence simple (induite par la convergence uniforme) :

g(x) = g(y)

On en déduit la condition nécessaire suivante :

\boxed{ g \in \overline{\mathbb{R}[f]} \implies \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,   f(x) = f(y) \implies g(x) = g(y) }

2. Existence de points de même valeur pour $f$ .

Montrons que pour toute fonction $f \in E$ , il existe $x, y \in [0, 2\pi[$ tels que $x \neq y$ et $f(x) = f(y)$ .

Premier cas : $f$ est constante. Le résultat est immédiat pour n'importe quels $x \neq y$ .

Second cas : $f$ n'est pas constante. Comme $f$ est continue sur le segment $[0, 2\pi]$ , elle y atteint son minimum $m$ et son maximum $M$ en deux points $x_m$ et $x_M$ .

Puisque $f$ est $2\pi$ -périodique, on a $f(0) = f(2\pi)$ . Si $f$ était injective sur $[0, 2\pi[$ , alors par continuité, $f$ serait strictement monotone sur $[0, 2\pi]$ . Or, la condition $f(0) = f(2\pi)$ impose alors que $f$ est constante, ce qui exclut l'injectivité.

Ainsi, il existe nécessairement :

\boxed{ \exists x, y \in [0, 2\pi[,   x \neq y \text{ et } f(x) = f(y) }

3. Construction d'un contre-exemple.

Fixons deux tels points $x, y \in [0, 2\pi[$ tels que $x \neq y$ et $f(x) = f(y)$ . Cherchons une fonction $g \in E$ telle que $g(x) \neq g(y)$ .

On peut par exemple considérer la fonction $g$ définie par :

g(t) = \cos(t - x)

Alors $g(x) = \cos(0) = 1$ . D'autre part, $g(y) = \cos(y - x)$ . Comme $x, y \in [0, 2\pi[$ et $x \neq y$ , on a $0 < |y - x| < 2\pi$ .

La fonction cosinus ne reprend la valeur $1$ sur $]0, 2\pi[$ qu'en $0$ modulo $2\pi$ . Ainsi, $\cos(y - x) = 1$ impliquerait $y - x = 0$ (impossible car $x \neq y$ ). On a donc :

\boxed{ g(x) \neq g(y) }

D'après la condition nécessaire établie en partie 1, $g$ ne peut pas appartenir à l'adhérence de $\mathbb{R}[f]$ .

4. Conclusion.

Pour toute fonction $f \in E$ , l'adhérence de $\mathbb{R}[f]$ est strictement incluse dans $E$ . L'algèbre $E$ n'est donc pas topologiquement monogène.

Croire que Stone-Weierstrass assure la densité sans vérifier la séparation des points.

Une algèbre de type R[f] n'est dense que si f est injective.