Approximation par des polynômes à coefficients positifs

Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction.

Montrer que $f$ est la limite uniforme sur $[0, 1]$ d'une suite de polynômes à coefficients réels positifs si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$f$ est continue sur $[0, 1]$ .
$f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, 1[$ et, pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $x \in ]0, 1[$ , on a $f^{(k)}(x) \ge 0$ .

1.

Pour le sens direct, utiliser le fait que si $P_n(x) = \sum a_{k,n} x^k$ avec $a_{k,n} \ge 0$ , alors toutes les dérivées de $P_n$ sont positives sur $[0, 1[$ . Pour la convergence des dérivées, on pourra utiliser des arguments de croissance ou de séries entières.

2.

Pour le sens réciproque, considérer le développement en série de Taylor de $f$ en 0. Justifier que $f$ est analytique sur $[0, 1[$ et utiliser le théorème d'Abel pour la convergence en 1.

Idées clés

•

Fonctions absolument monotones.

•

Développement en série entière et rayon de convergence.

•

Théorème d'Abel pour la convergence uniforme des séries entières.

•

Théorème de Dini ou arguments de convergence monotone.

Analyse du sens direct ( $\implies$ ).

Supposons qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à coefficients positifs telle que $P_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ .

Comme chaque $P_n$ est continu, la limite uniforme $f$ est nécessairement continue sur $[0, 1]$ .

Posons $P_n(x) = \sum_{j=0}^{d_n} a_{j,n} x^j$ où $a_{j,n} \ge 0$ . Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , la dérivée $k$ -ième est :

P_n^{(k)}(x) = \sum_{j=k}^{d_n} \frac{j!}{(j-k)!} a_{j,n} x^{j-k}

On observe immédiatement que pour tout $x \in [0, 1[$ , on a $P_n^{(k)}(x) \ge 0$ .

Pour montrer que $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ et que $f^{(k)} \ge 0$ , on utilise le fait que pour des fonctions à coefficients positifs, la convergence simple sur $[0, 1]$ entraîne la convergence de toutes les dérivées sur $]0, 1[$ .

Soit $x_0 \in ]0, 1[$ . Soit $r$ tel que $x_0 < r < 1$ . Puisque $a_{j,n} \ge 0$ , pour tout $j \le N$ , on a $a_{j,n} r^j \le P_n(r)$ . Comme $(P_n(r))$ converge, elle est bornée.

Ainsi, pour chaque $j$ , la suite $(a_{j,n})_n$ est bornée. Par extraction diagonale, on peut montrer que chaque coefficient converge vers un $a_j \ge 0$ .

On en déduit que $f$ coïncide sur $[0, 1[$ avec la somme d'une série entière $\sum a_j x^j$ . Une telle fonction est $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, 1[$ et ses dérivées sont les limites des $P_n^{(k)}$ .

\boxed{ \forall k \in \mathbb{N}, \forall x \in ]0, 1[,   f^{(k)}(x) \ge 0 }

Analyse du sens réciproque ( $\impliedby$ ).

Supposons $f$ continue sur $[0, 1]$ , de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, 1[$ et $f^{(k)} \ge 0$ .

Par le théorème de Taylor avec reste intégral, pour $0 < a < x < 1$ :

f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)   dt

Comme $f^{(n+1)} \ge 0$ , le reste est positif. La série de Taylor à n'importe quel point $a \in ]0, 1[$ a des coefficients positifs et converge vers $f$ sur $[a, 1[$ .

En faisant tendre $a$ vers $0$ , on montre que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 :

\boxed{ \forall x \in [0, 1[,   f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k   \text{avec}   a_k = \frac{f^{(k)}(0^+)}{k!} \ge 0 }

La série $\sum a_k x^k$ est à coefficients positifs et converge pour tout $x \in [0, 1[$ .

Comme $f$ est continue en 1, d'après le théorème de convergence monotone (ou le théorème d'Abel pour les séries à coefficients positifs) :

\sum_{k=0}^\infty a_k = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)

La série de constante $\sum a_k$ converge. On pose alors $S_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ . Ce sont des polynômes à coefficients positifs.

Pour tout $x \in [0, 1]$ , on a :

|f(x) - S_n(x)| = \sum_{k=n+1}^\infty a_k x^k \le \sum_{k=n+1}^\infty a_k

Le membre de droite ne dépend pas de $x$ et tend vers 0 car c'est le reste d'une série convergente. On a donc bien convergence uniforme sur $[0, 1]$ .

\boxed{ \| f - S_n \|_\infty \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 }

Convergence des dérivées sans hypothèse de régularité uniforme.

Caractérisation des fonctions absolument monotones sur [0, 1].