Fonction convexe non dérivable sur un ensemble dénombrable

Soit $D = \{d_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ une partie au plus dénombrable de $]0, 1[$ .

Construire une fonction $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ convexe dont l'ensemble des points de non-dérivabilité est exactement $D$ .

1.

On peut chercher $g$ sous la forme d'une série de fonctions simples présentant un "pli" en chaque $d_n$ .

2.

Considérer $g(x) = \sum a_n |x - d_n|$ avec une suite $(a_n)$ bien choisie.

3.

Utiliser la caractérisation de la dérivabilité pour les fonctions convexes : $g$ est dérivable en $x$ si et seulement si ses dérivées à gauche $g'_g(x)$ et à droite $g'_d(x)$ sont égales.

Idées clés

•

Propriété : une fonction convexe est dérivable si et seulement si $f'_g(x) = f'_d(x)$ .

•

Somme de fonctions convexes.

•

Théorème de dérivation des séries de fonctions ou argument sur les limites latérales.

Résolution.

Considérons une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de réels strictement positifs telle que la série $\sum a_n$ converge. On définit :

\boxed{ g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n |x - d_n| }

1. Existence et continuité : Puisque $d_n \in ]0, 1[$ , on a $|x - d_n| \leq |x| + 1$ . Pour $x$ dans un segment $[-A, A]$ , on a $|a_n |x - d_n|| \leq a_n(A+1)$ . La série converge donc normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ . Ainsi, $g$ est bien définie et continue sur $\mathbb{R}$ .

2. Convexité : Chaque fonction $x \mapsto |x - d_n|$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Comme $a_n > 0$ , $g$ est une somme de fonctions convexes, elle est donc :

\boxed{ g \text{ est convexe sur } \mathbb{R} }

3. Étude de la dérivabilité : Une fonction convexe possède en tout point une dérivée à gauche et une dérivée à droite. Par convergence normale de la série des dérivées (qui sont des fonctions de saut), on peut exprimer les dérivées latérales de $g$ :

g'_d(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \phi_n(x)   \text{où } \phi_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \geq d_n -1 & \text{si } x < d_n \end{cases}

g'_g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \psi_n(x)   \text{où } \psi_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > d_n -1 & \text{si } x \leq d_n \end{cases}

Calculons la différence $g'_d(x) - g'_g(x)$ :

g'_d(x) - g'_g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (\phi_n(x) - \psi_n(x))

Pour chaque terme de la somme : - Si $x \neq d_n$ , $\phi_n(x) = \psi_n(x)$ , donc le terme est nul. - Si $x = d_n$ , $\phi_n(x) = 1$ et $\psi_n(x) = -1$ , donc $\phi_n(x) - \psi_n(x) = 2$ .

Ainsi :

g'_d(x) - g'_g(x) = \begin{cases} 2a_k & \text{si } x = d_k \in D 0 & \text{si } x \notin D \end{cases}

$g$ est dérivable en $x$ si et seulement si $g'_d(x) - g'_g(x) = 0$ . Comme $a_k > 0$ , cela arrive si et seulement si $x \notin D$ .

\boxed{ \text{L'ensemble des points de non-dérivabilité de } g \text{ est } D }

Utiliser le théorème de dérivation classique sans précaution sur les points singuliers.

Une fonction convexe est non dérivable là où sa dérivée (monotone) est discontinue.