Construction et propriétés d'une courbe de Péano

On munit $\mathbb{R}^{2}$ de la norme infini notée $\|(x, y)\|=\max (|x|,|y|)$ . Soit $E$ l'espace des fonctions continues $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ vérifiant les conditions aux limites $f(0)=(0,0)$ et $f(1)=(1,0)$ .

On définit quatre transformations affines du plan $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ par :

A_{1}(x, y)=\left(\frac{y}{2}, \frac{x}{2}\right),   A_{2}(x, y)=\left(\frac{x}{2}, \frac{y+1}{2}\right),   A_{3}(x, y)=\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+1}{2}\right),   A_{4}(x, y)=\left(1-\frac{y}{2}, \frac{1-x}{2}\right)

Pour toute fonction $f \in E$ , on définit l'application $Tf$ sur $[0,1]$ par :

\forall i \in \{1, 2, 3, 4\},   \forall x \in \left[\frac{i-1}{4}, \frac{i}{4}\right],   Tf(x) = A_i\left(f(4x - i + 1)\right)

Justifier que pour tout $f \in E$ , l'application $Tf$ appartient bien à $E$ .
Montrer que la suite de fonctions $(T^n f)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers une fonction $\varphi \in E$ , et que cette limite est indépendante du choix de $f \in E$ .
Démontrer que l'image de l'intervalle $[0,1]$ par $\varphi$ est exactement le carré unité $[0,1]^2$ .
Établir l'existence d'une constante $C > 0$ telle que : $\forall (t, t') \in [0,1]^2, \|\varphi(t) - \varphi(t')\| \leq C \sqrt{|t-t'|}$
On considère une application $\psi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$ supposée $K$ -höldérienne d'exposant $\alpha > 1/2$ . Montrer que l'image $\psi([0,1])$ est d'intérieur vide dans $\mathbb{R}^2$ .
Application au problème du voyageur de commerce : Soit $(P_1, \dots, P_N)$ un ensemble de $N$ points du carré $[0,1]^2$ . Montrer qu'il existe un chemin continu et affine par morceaux passant par tous ces points, dont la longueur totale est majorée par $C\sqrt{N}$ pour une certaine constante $C$ .

Idées clés

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Théorème du point fixe de Banach dans l'espace des fonctions continues munies de la norme $\infty$ .

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Densité des points dyadiques pour prouver la surjectivité (courbe remplissante).

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Stabilité de propriétés géométriques (Hölder) par passage à la limite uniforme.

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Inégalité de Cauchy-Schwarz pour la majoration de la longueur du chemin.

Résolution.

Stabilité de $E$ par $T$ . Soit $f \in E$ . La continuité de $Tf$ sur chaque intervalle $[\frac{i-1}{4}, \frac{i}{4}]$ est immédiate car $A_i$ et $f$ sont continues. Vérifions les raccordements : Aux points $x = 1/4$ : $Tf(1/4^-) = A_1(f(1)) = A_1(1,0) = (0, 1/2)$ $Tf(1/4^+) = A_2(f(0)) = A_2(0,0) = (0, 1/2)$ Le raccordement est continu. Les calculs sont analogues pour $x=1/2$ et $x=3/4$ . Enfin, $Tf(0) = A_1(f(0)) = A_1(0,0) = (0,0)$ et $Tf(1) = A_4(f(1)) = A_4(1,0) = (1,0)$ . Ainsi, $Tf \in E$ .
Convergence uniforme. L'espace $E$ est un sous-espace fermé de $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}^2)$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty$ . C'est donc un espace complet. Calculons la distance entre $Tf$ et $Tg$ : $\|Tf - Tg\|_\infty = \sup_{i, x} \|A_i(f(4x-i+1)) - A_i(g(4x-i+1))\|$ Comme chaque $A_i$ a une partie linéaire de norme $1/2$ pour la norme $\|\cdot\|$ , on a : $\|Tf - Tg\|_\infty \leq \frac{1}{2} \|f - g\|_\infty$ $T$ est donc une contraction de rapport $1/2$ . $\boxed{\text{Par le théorème du point fixe, } T^n f \rightarrow \varphi \in E \text{ uniformément.}}$
Surjectivité de $\varphi$ . Soit $C = [0,1]^2$ . Remarquons que $A_1(C), A_2(C), A_3(C), A_4(C)$ sont quatre carrés de côté $1/2$ qui pavent exactement $C$ . En choisissant $f$ telle que $f([0,1]) \subset C$ , on montre par récurrence que $T^n f([0,1])$ contient tous les points de la forme $(\frac{k}{2^n}, \frac{l}{2^n})$ . L'ensemble de ces points est dense dans $[0,1]^2$ . Puisque $\varphi([0,1])$ est un compact (image continue d'un compact) contenant un ensemble dense dans $[0,1]^2$ , on conclut : $\boxed{\varphi([0,1]) = [0,1]^2}$
Régularité de $\varphi$ . Soit $H$ l'ensemble des fonctions $f \in E$ vérifiant $\|f(t) - f(t')\| \leq C \sqrt{|t-t'|}$ avec une constante $C$ bien choisie. On montre que $T$ stabilise $H$ . Si $t, t'$ sont dans le même intervalle $I_i = [\frac{i-1}{4}, \frac{i}{4}]$ : $\|Tf(t) - Tf(t')\| = \|A_i(f(4t-i+1)) - A_i(f(4t'-i+1))\| \leq \frac{1}{2} C \sqrt{4|t-t'|} = C \sqrt{|t-t'|}$ Pour des points dans des intervalles adjacents ou disjoints, le raisonnement s'appuie sur la continuité aux bornes et l'inégalité $\sqrt{u}+\sqrt{v} \leq \sqrt{2}\sqrt{u+v}$ . En prenant $f_0(t)=(t,0) \in H$ , la limite uniforme $\varphi$ reste dans $H$ car $H$ est fermé.
Intérieur vide pour $\alpha > 1/2$ . Découpons $[0,1]$ en $N$ segments de longueur $1/N$ . L'image de chaque segment est contenue dans un carré de côté $2 K (1/N)^\alpha$ . L'aire totale recouverte est majorée par $N \times [2K N^{-\alpha}]^2 = 4K^2 N^{1-2\alpha}$ . Si $\alpha > 1/2$ , cette aire tend vers $0$ quand $N \rightarrow +\infty$ . $\boxed{\text{L'aire de l'image est nulle, donc son intérieur est vide.}}$
Voyageur de commerce. Soient $P_1, \dots, P_N \in [0,1]^2$ . Par surjectivité, il existe $t_i$ tels que $\varphi(t_i) = P_i$ . On ordonne les antécédents : $0 \leq t_{\sigma(1)} \leq \dots \leq t_{\sigma(N)} \leq 1$ . La longueur $L$ du chemin polygonal reliant les $P_{\sigma(i)}$ est : $L = \sum_{i=1}^{N-1} \|\varphi(t_{\sigma(i+1)}) - \varphi(t_{\sigma(i)})\| \leq C \sum_{i=1}^{N-1} \sqrt{t_{\sigma(i+1)} - t_{\sigma(i)}}$ Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs $(1, \dots, 1)$ et $(\sqrt{\Delta t_i})$ : $L \leq C \sqrt{N-1} \sqrt{\sum \Delta t_i} = C \sqrt{N-1} \sqrt{t_{\sigma(N)} - t_{\sigma(1)}}$ Comme $t_{\sigma(N)} - t_{\sigma(1)} \leq 1$ , on obtient : $\boxed{L \leq C \sqrt{N}}$

Vérification de la continuité aux points de raccordement dyadiques

Une courbe surjective sur le carré ne peut être plus que 1/2-höldérienne